数学分析讲义 2)考虑到 SIn x 1 cos2, ,类似于1)的讨论易知 2 dx收敛,而 d x 发散,所以 dx发散 综上所述,无穷积分 dx条件收敛 §2瑕积分及其收敛性 1瑕积分(无界函数的广义积分)之定义 定义2:设f(x)在x=b点的邻域内无界,n>0,f(x)∈Rab-n] 若mJmJ()存在(有限值),称f(x)在(上广义可积, 记∫f()d=mf(x)为f(x)在[a上之瑕积分,b成为瑕点 瑕积分存在也称为∫(x)收敛,否则称J(x)d发散 同理对于x=a是瑕点,则定义∫f()=mnJf():若x=c∈(a,b)是无界 点(瑕点),则需分别讨论∫/()女及/(x)之收敛性,若两个积分均收敛,则称 ∫f(x)收敛,且 ∫()女=(x)+∫()k=m厂(x)+1m广”()h 例1:讨论积分 之收敛性 解:瑕点:只有一个瑕点x=a 考虑函数:()= x-a P q(n)=,-(x 所以p<时,(n)-(b-a)}",积分收敛,P>1时积分发散: 当P=1时,q(n)=mx-on=1h2→,积分发散数学分析讲义 107 2) 考虑到 2 sin sin 1 cos2 2 2 x x x x x x x ³ = - ，类似于 1)的讨论易知 1 cos2 2 x dx x +¥ ò 收敛，而 1 2 dx x +¥ ò 发散，所以 1 sin x dx x +¥ ò 发散。 综上所述，无穷积分 1 sin x dx x +¥ ò 条件收敛。 §2 瑕积分及其收敛性 1 瑕积分（无界函数的广义积分）之定义 定义 2：设 f x( ) 在 x b = 点的邻域内无界，" > h 0， f ( x )Î - R [a b, h] ， 若 ( ) 0 lim b a f x dx h h + - ® ò 存在（有限值），称 f x( ) 在[ a b, ] 上广义可积， 记 ( ) ( ) 0 lim b b a a f x dx f x dx h h + - ® = ò ò 为 f x( ) 在[ a b, ] 上之瑕积分，b 成为瑕点。 瑕积分存在也称为 ( ) b a f x dx ò 收敛，否则称 ( ) b a f x dx ò 发散。 同理对于 x a = 是瑕点，则定义 ( ) ( ) 0 lim b b a a f x dx f x dx h h + ® + = ò ò ；若 x = Îc (a b, )是无界 点（瑕点），则需分别讨论 ( ) c a f x dx ò 及 ( ) b c f x dx ò 之收敛性，若两个积分均收敛，则称 ( ) b a f x dx ò 收敛，且： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim b c b c b a a c a a f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx h h h h + + - ® ®¢ + ¢ = + = + ò ò ò ò ò 例 1：讨论积分 ( ) b p a dx x a - ò 之收敛性。 解： 瑕点：只有一个瑕点 x a = ； 考虑函数： ( ) ( ) b p a dx x a h j h + = - ò ， 当 p ¹ 1时， ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 b p p p a x a b a p p h j h h - - - + = - = é ù - - - - ë û ， 所以 p < 1时， ( ) ( ) 1 1 1 p b a p j h - ® - - ，积分收敛， p > 1时积分发散； 当 p = 1时， ( ) ln ln b a b a x a h j h h + - = - = ® ¥ ，积分发散