广义积分 从该例可知,象(x-c)”这样的函数,无论c点在积分区间端点或内部,均有p<1收 敛,p≥1发散。(这在形式上与无穷限广义积分相反) 例2:讨论一之收敛性 解:由于”= arcsinx5”=asm(-m)→2,因而积分收敛至 考虑积分门女 它是发散的,x=0为其瑕点 但由于x+2=+0,因[x+x=0,类似于无穷 积分的 Cauchy主值,我们也可以定义瑕积分之 Cauchy主值 p广()=1=[/()+Cm/( 2瑕积分之性质 下面几部分的讨论与无穷积分完全类似,首先我们有瑕积分的基本性质 1.线性运算性质成立 2.换元法与分部积分法成立 3.绝对收敛与条件收敛性质以及相互关系仍成立。 4.收敛原理: 若x=a是瑕点,f(x)d收敛 v>0,3530,0<7,7<6时,有m() 3 Cauchy判别法 对于瑕积分,也有无穷积分类似的比较判别法与 Cauchy判别法,这里只将 Cauchy判 别法列出。设x=a为瑕点 1.若/(x)≤ (x-ayp1,则(x)绝对收敛 若(x)2->0,P21,则f(x)在发散 (只需在x=a右邻域内不等式成立) 2.若imn(x-a)”(x)=1,则: P<1且0≤1<+∞时,「f(x)d绝对收敛 p21且0<1≤+∞时,()发散 l1.108广义积分 11.108 从该例可知，象( ) p x c - - 这样的函数，无论c 点在积分区间端点或内部，均有 p < 1收 敛， p ³ 1发散。（这在形式上与无穷限广义积分相反） 例 2：讨论 1 0 2 1 dx - x ò 之收敛性。 解： 由于 ( ) 1 1 2 0 0 arcsin arcsin 1 1 2 dx x x h h p h - - = = - ® - ò ，因而积分收敛至 2 p 。 考虑积分 1 1 dx x ò- 。它是发散的， x = 0 为其瑕点。 但由于 1 1 1 ln ln 0 dx dx x x h h h h - - +=+= ò ò ，因而 1 0 1 lim 0 dx dx x x h h h + - ® - é ù + = ê ú ë û ò ò ，类似于无穷 积分的 Cauchy 主值，我们也可以定义瑕积分之 Cauchy 主值： ( ) ( ) ( ) 0 . . lim b c b a a c v p f x dx f x dx f x dx h h h + - ® + é ù = + ê ú ë û ò ò ò 2 瑕积分之性质 下面几部分的讨论与无穷积分完全类似，首先我们有瑕积分的基本性质： 1. 线性运算性质成立； 2. 换元法与分部积分法成立； 3. 绝对收敛与条件收敛性质以及相互关系仍成立。 4. 收敛原理： 若 x a = 是瑕点， ( ) b a f x dx ò 收敛 Û " > e 0 ，$ > d 0 ，0 , < < h¢ h d ¢¢ 时，有 ( ) a a f x dx h h e + ¢¢ + ¢ < ò 3 Cauchy 判别法 对于瑕积分，也有无穷积分类似的比较判别法与 Cauchy 判别法，这里只将 Cauchy 判 别法列出。设 x a = 为瑕点， 1. 若 ( ) ( ) p c f x x a £ - ， p < 1，则 ( ) b a f x dx ò 绝对收敛； 若 ( ) ( ) 0 p c f x x a ³ > - ， p ³ 1，则 ( ) b a f x dx ò 发散。 （只需在 x a = 右邻域内不等式成立） 2. 若 lim ( ) ( ) p x a x a f x l ® + - = ，则： p < 1且0 £ l <+¥ 时， ( ) b a f x dx ò 绝对收敛； p ³ 1且0 < l £+¥ 时， ( ) b a f x dx ò 发散