数学分析讲义 例3:讨论积分 的敛散性 xIn 解:瑕点:有两个瑕点x=0与x=1 当x→0时,由于√x x nx →0,所以了xn 当x→1时,由于(1-x) 1,所以 Inx xmn发 综上,积分女 Fh发散 4无穷积分与瑕积分之关系 当x=a为积分瑕点时,我们有: f(rdx a 因此任意一个瑕积分均可化为无穷积分之形式,反之亦然。 5条件收敛判别法 与无穷积分类似,对于条件收敛的级数,我们有如下两个判别法 1.Abel判别法 若(x)收敛且g(x)单调有界,则∫/(()收敛 2. Dirichlet判别法(假设x=a为瑕点) 若n()有界,8(x)单调趋于零(x→a),则∫/()收敛 例4:讨论积分[ cos-dx之收敛性 解:1)考虑到cos-≤-,所以p<1时积分绝对收敛 2)由于[ cos-dx=-sin-=sin=-sinl,所以 而x2在2-p>0,即p<2时单调趋于零 所以1≤p<2时 cos-dx收敛( Dirichlet判别法) 另一方面,考虑到cos-≥-cos22= x 2x 2x 由于1≤P<2时[1 x发散,由1)知: 2xos女收敛,数学分析讲义 109 例 3：讨论积分 1 0 ln dx x x ò 的敛散性。 解： 瑕点：有两个瑕点 x = 0 与 x =1； 当 x 0 ® + 时，由于 1 0 ln x x x × ® ，所以 1 2 0 ln dx x x ò 收敛； 当 x 1 ® - 时，由于( ) 1 1 1 ln x x x - ® - ，所以 1 2 1 ln dx x x ò 发散， 综上，积分 1 0 ln dx x x ò 发散。 4 无穷积分与瑕积分之关系 当 x a = 为积分瑕点时，我们有： ( ) 1 1 2 x a 1 b a y b a dy f x dx f a y y - - = +¥ æ ö = + ç ÷ è ø ò ò 因此任意一个瑕积分均可化为无穷积分之形式，反之亦然。 5 条件收敛判别法 与无穷积分类似，对于条件收敛的级数，我们有如下两个判别法： 1. Abel判别法 若 ( ) b a f x dx ò 收敛且 g x( ) 单调有界，则 ( ) ( ) b a fxgx dx ò 收敛。 2. Dirichlet 判别法（假设 x a = 为瑕点） 若 ( ) b a f x dx ò +h 有界， g x( ) 单调趋于零( x a ) ® + ，则 ( ) ( ) b a fxgx dx ò 收敛。 例 4：讨论积分 1 0 1 1 cos p dx x x ò 之收敛性。 解： 1) 考虑到 1 1 1 cos p p x x x £ ，所以 p < 1时积分绝对收敛； 2) 由于 1 1 2 1 1 1 1 cos dx sin sin sin1 x x x h h h = - = - ò ，所以 1 2 1 1 cos 2 dx x x h £ ò ； 而 2 p x - 在2 0 - > p ，即 p < 2时单调趋于零， 所以1 2 £ < p 时， 1 0 1 1 cos p dx x x ò 收敛（Dirichlet 判别法） 另一方面，考虑到 1 1 1 2 1 112 cos cos cos 2 2 p p p p x x x x xxx ³ = + ， 由于1 2 £ < p 时 1 0 1 p dx x ò 发散，由 1）知： 1 0 1 2 cos 2 p dx x x ò 收敛