所以15M发散,即1≤<2时积分条件收敛。 )p=2时,[1c0sdk=sin1-smn,积分发散 P>2时,若[cos收敛,则考虑:11 x22单调有界,由Abl判别法可知积分[cos-dx收敛 这与P=2时积分发散矛盾,∴p≥2时积分发散 习题 求无穷积分: x x(1 1+x (7) (8) 1+ 01+x +x (l1) (12) (1+x")h+ 2.求无穷积分 e dx a (3) (n为自然数,ac-b2>0)。 (ax+2bx +c) 3.设f(x)≤h(x)≤g(x)a≤x<+0,且 f(r)dx 收敛。求证:h(x)dx收敛 4.若f(x)在[a+∞)上单调下降,且积分∫(x)x收敛。求证:lmx/(x)=0。 5.判别下列无穷积分的收敛性 d x x-x+ (3) xe ax (P≥0) 11.110广义积分 11.110 所以1 2 £ < p 时， 1 0 1 1 cos p dx x x ò 发散，即1 2 £ < p 时积分条件收敛。 3) p = 2 时， 1 2 1 1 1 cos dx sin sin1 x x h h = - ò ，积分发散， p > 2 时，若 1 0 1 1 cos p dx x x ò 收敛，则考虑： 2 2 1 1 1 1 cos cos p p x x x x x - = g p 2 x - 单调有界，由 Abel 判别法可知积分 1 2 0 1 1 cos dx x x ò 收敛， 这与 p = 2 时积分发散矛盾，\ ³ p 2 时积分发散。 习题 1．求无穷积分： （1） ò +¥ 0 + 2 2 3 (a x ) xdx ； （2）ò +¥ 1 + 2 x(1 x ) dx ； （3） ò +¥ 0 + 2 (1 ) ln x xdx ； （4）ò +¥ 0 + 3 1 x dx ； （5） ò +¥ - 0 e cos axdx x ； （6）ò +¥ - 0 e sin axdx x ； （7） dx x x ò +¥ + + 0 4 2 1 1 ； （8）ò +¥ 0 + 4 1 x dx ； （9） dx x x ò +¥ 0 + 2 1 ； （10）ò +¥ + + 0 2 2 (2x 1) 1 x dx ； （11） ò +¥ + 0 2 2 2 3 (x a ) xdx ； （12）ò +¥ + + 0 (1 ) 1 n n n x x dx 。 2．求无穷积分： （1） ò +¥ - 0 x e dx n x ； （2） ( 0) ( ) 0 2 2 > + ò +¥ a a x dx n ； （3） ò +¥ 0 + + 2 ( 2 ) n ax bx c dx （n 为自然数， 0 2 ac - b > ）。 3．设 f (x) £ h( x) £ g( x), a £ x < +¥ ，且 ò +¥ a f (x)dx ， ò +¥ a g(x)dx 收敛。求证： ò +¥ a h(x)dx收敛。 4．若 f (x) 在[a,+¥) 上单调下降，且积分 ò +¥ a f (x)dx 收敛。求证： lim ( ) = 0 ®+¥ xf x x 。 5．判别下列无穷积分的收敛性： （1） ò +¥ 0 - + 4 2 2 x x 1 x dx ； （2）ò +¥ + 1 3 2 x 1 x dx ； （3） ( 0) 0 ³ ò +¥ - x e dx p p x ； （4）ò +¥ 0 ln dx x x p ；