§4收敛准则 单调有界数列收敛定理 定理2.4.1单调有界数列必定收敛 证不妨设数列{x}单调增加且有上界,根据确界存在定理,由 {xn}构成的数集必有上确界β,β满足 (1)n∈N+:xn≤B; (2)VE>0,彐x B 取N=n,Vn>N: B-E<xn≤Xn≤B, 因而{xn-B<E,于是得到 B 证毕单调有界数列收敛定理 定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。 证 不妨设数列{ x n }单调增加且有上界，根据确界存在定理，由 { x n }构成的数集必有上确界 ， 满足： (1) + n  N : xn   ； (2)    0， xn0 : xn0   −  。 取 N n = 0 ,  n  N ：  −  xn  xn   0 ， 因而 n x −    ，于是得到 lim n→ x n =  。 证毕 §4 收敛准则