VoL27 No.5 朱淑芹等：利用Silnikov定理构造混沌系统 ·637· 96 (a) (6) 6 61 2 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 20 40 60 80 100 图1混沌吸引子.()变量xx:(b)变量随时间的演化；(c)变量随时间的演化：()变量，随时间的演化 Fig.1 Chaos attractor.(a)Variablesxx.Time evolutions of variables:(b)x:;(c)x:;and (d)x 5结论 1998 [2]方锦清.驾驭混沌与发展高新技.北京：原子能出版杜，2001 在考察了几个经典混沌系统和利用Silnikov [3)陈关荣，吕金虎.Lo心z系统族的动力学分析、控制与同 步.北京：科学出版杜，2002.112 定理的基础上，建立了一个判别存在Smale马蹄 [4]Zhou T,Chen G,Yang Q.Constructing a new chaotic system bas- 意义混沌的定理，利用该定理构造了一类新的三 ed on the Silnikov criterion.Chaos Solitons Fractals,2004,19: 维二次多式混沌系统.该系统至少具有一个实平 985 衡点，像Lorenz系统一样，具有两个非线性项.数 [5]刘增荣.混沌微扰判据.上海：上海科技教育出版社，146 [6]Silva C P.Silnikov theorem:a tutorial.IEEE Trans Circults 值模拟例子确认了理论的有效性.利用这种构造 Syst-l,1993,40(10675 方法，也可构造其他类型的二次多式混沌系统. [7]Chen G,Ueta T.Yet another chaotic attractor.Int J Bifurcation Ch03,1999,9:1465 参考文献 [8]钱伟长，微分方程的理论及其解法，北京：国防工业出版 [1]Chen G,Dong X.From Chaos to Order:Methodologies,Perspec- 社，381 tives and Applications.Singapore:World Scientific Pub.Co. Constructing a chaotic system based on the Silnikov theorem ZHU Shuqin,YANG Miao,ZHANG Xianhua",MIN Lequan2 1)Applied Science School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Information Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT Based on the Silnikov theorem,a theorem that confirmed the existence of Smale horseshoes sense chaos was set up.Using the theorem,a new kind of quadratic chaotic system could be constructed,which has a uni- que equilibrium point.A numerical simulation example demonstrated that this system could have chaotic attractor. In particular the method could be used to generate other quadratic chaotic systems. KEY WORDS homoclinic orbit;chaotic system;Silnikov theorem、勺 7 L 2 N 0 . 5 朱 淑芹 等 : 利用 S U 业o 定 理构 造混 沌 系统 n v . 3 7 6 . 图 1 混沌 吸引子 . a) 变量 声沼 ( xl , ; ( b )变最 x : 随 时 间的演 化 ; c( )变量xz 随 时 间的演 化 ; (d) 变量为 随时 间 的演化 F lg . I C 卜a o s a tr a c t o .r ( a ) Va ir a b l e s x ,丙丙 . n m e e v o l u 柱o n s of v a ir a b l e s : ( b ) x : : ( e ) x2 ; a n d ( d ) x , 5 结论 在 考 察 了几 个经 典 混沌 系 统和 利 用 is ln 伽 v 定理 的基 础 上 , 建 立 了一 个判 别存 在 Sm al e 马蹄 意义混 沌 的定 理 . 利用 该 定理构 造 了一类 新 的三 维二 次多式 混 沌系 统 . 该系 统至 少具 有 一个 实平 衡 点 , 像 L o ~ 系统 一样 , 具 有 两个非线 性 项 . 数 值 模拟 例子 确认 了理论 的有 效性 . 利 用 这种 构造 方法 , 也 可 构造 其他 类 型 的二 次 多式 混 沌系 统 . 参 考 文 献 [ ] ] C h e n G , D o n g X . F or m C h a o s t o o dr e r : Me ht o d o l o ig e s , p e r s P e e - t i v e s an d A PP li e a it o n s . S i n g a P o 玲: W b r ld S e i e nt iif e P ub . C o . , 19 9 8 2[ ] 方 锦清 . 驾驭 混沌与 发展 高新技 . 北京 : 原子 能出版社 , 20 01 3[ 」 陈关荣 , 吕 金虎 . L o re nz 系 统族 的动力 学分 析 、 控制与 同 步 · 北京 : 科学 出版 社 , 2 0 02 . 112 4[ ] hZ o u T, C h e n G , Y a n g Q . C o n s trU e t in g a new e h a o t i e sy st e m b a s - e d o n t h e S il n i k o v e ir t e ir o n . C h a o s 5 0 肚t o n s F r a e t a 肠 , 2 0 0 4 , 19 : 9 8 5 5[ 』 刘 增荣 . 混 沌微扰 判据 . 上 海 :上海 科技 教育 出版社 , 146 [ 6 ] S il v a C R S I nI i k o v ht e眼m : a tu o ir a l . IE E E 介 a n s C 诫 u i妞 S ys -t I , 19 9 3 , 4 0 ( 10 ) : 67 5 【7] C h e n G , U e at 工 eY t an o ht e r ch ao it e a tr a c ot .r I n t J B iof 代a 幼0 . C 卜a o s , 19 9 9 , 9 : 146 5 8[ ] 钱 伟长 . 微 分方 程的理 论及 其解法 . 北京 : 国防工业 出版 社 , 3 8 1 C o n s trU c t i n g a e h a o t i e s y s t e m b a s e d o n ht e S iin 议o v ht e o re m Z 厅` hS qu inl ), YA N G 初勿 0 ,2) 乙阮 4刀 G X公 n h u a Z气似从 z L qe ~ ,2)l 1) A P P li e d s e i e n e e S e h o o l , U垃 v e r s ity o f s e i e n c e a o d eT c ha o l o gy B e ij 毗 , B e ij in g 10 0 0 8 3 , C ihn a 2 ) nI of n 刀 a tion E n g i n e e r i n g S ch o o l , U in v e 玲iyt o f s e ien c e an d eT e hn o 1 0 g y B e ij ing , B e ij ign 10 0 0 8 3 , Ch in a A B S T R A C T B a s e d o n ht e S i in l k o v ht e o re m , a ht e oer m t h at e o n if n n e d ht e e x i s t on e e o f S m al e h o r s e s ho e s s e n s e e h a o s w a s s e t uP . U s ign het ht e o o m , a n e w k i n d o f qu a dr at i e hc ao it e s y s et m e o u l d b e e o n s trU e et d , hw i e h h a s a un i - q u e e q u ilib ir um P o iin . A n u m e ir e a l 51们Qu lat ion e x a m Pl e d em o n s t r a t e d ht at ht i s s y s t e m e o u l d h va e e h a o t i e a t r a e ot .r I n P a rt i c u l鱿 ht e m e ht o d e o u l d b e u s e d ot g e n ear te o ht er qu a d r a t i c e h a o t i e s y s et m s . K E Y W O R D S h o m o e lin i e o br it : e h a o t i e s y s ot m ; S iin i k o v ht e o er m