利用Silnikov定理构造混沌系统.pdf_大学文库

D0I:10.13374/j.issn1001053x.2005.05.061 第27卷第5期北京科。技大学学报 Vol.27 No.5 2005年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.2005 利用Silnikov定理构造混沌系统朱淑芹)杨淼)张先华)闵乐泉12四 1)北京科技大学应用科学学院数学系，北京1000832)北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要利用Silnikov定理构造了一类新的三维二次多项式混沌系统，该系统只具有一个平衡点.理论分析表明该系统具有Smale马蹄意义的混沌，计算机仿真实例显示系统的Smale马蹄具有吸引性.利用该方法还可以构造其他的三维二次多项式混沌系统。关键词同宿轨道；混沌系统：Silnikov定理分类号0191 近20年来，混沌动力学系统已在广泛的领域系统，在构造的过程中，考查了一些经典的混沌得到应用，如大脑神经网络分析、图像数据加密、系统：Lorens系统，Chenm系统和Lv系统，发现非线性系统辨识、计算机图形处理、通信和信息它们的一些共同性质，如系统在平衡点的雅可比处理、生物医学，因此有关混沌的诱发、控制与矩阵的行列式值小于零，且特征值有一个负实反控制的研究得到了越来越多的关注.有关学者根，和一对具有正实部的共轭复根.一般的三维开始研究如何构造新的混沌系统.陈关荣和吕金二次多项式系统具有以下形式：虎在Lorenz系统的基础上分别构造出了Chen系 x,=∑ayxx+Eaxa 产】统和Lv系统，文献[4]基于Silnikov定理构造了 3 一个三维二次多项式混沌系统.本文在Silnikov =∑bpxx+Ebx+b (2) 定理的基础上，构造了一类新的三维混沌二次多 Ecxxx+Ecxtc 项式混沌系统，数值仿真表明该系统存在混沌吸其中，ay,bi,Ci,an b,c,a,b,c(,j户l,2,3)为系数.构造引子. 的系统形式如下： 1 Silnikov定理 [元1=41x1十a12x2十a163 2=a2ixx3十anx2十b (3) Silnikov定理设 -ax1十a3xx3+C X(=f(X() (1) 其中，a1,a,a1,a2,a2,a,an,b,c为实参数.系统其中，tERx∈R,fR一R且设存在x∈R使得 (3)的平衡点(x,,x)可由系统(3)解出： fx)0.令J=Dfx)是x)在平衡点x.的雅可比 xaub-ana, (4) a1a1-41a2k 矩阵.J满足以下条件： x2ban） (5) (1)J有三个特征根：a,肚io,其中a0, 其中，x3是下面方程的实解： lapB,aB,w∈R. anaza-(apana+bauan+canan)x+ (2)存在一条通过平衡点x的同宿轨道. canaz+anab=0 (6) 则系统(I)存在Smale马蹄的混沌. 因此式(4)，(5)和(6)确定了方程(3)的一平衡 2构造新的混沌系统点，记作Ox,,).于是得到系统(3)在平衡点的雅可比矩阵为：为了构造一个满足Silnikov定理的新的混沌 an 收稿日期：200409-10修回日期：200411-11 Jauxi an aax (7) 基金顶目：因家自然科学基金资助项目No.60074034,N0. a anx anx 70271068:高等学校博士学科点专项科研基金资助项目No. 其行列式值为： 2002008004) det()=aanax2-anazaxx-azanaxx 作者简介：朱淑芹(1980一)，女，硕士研究生

第 2 7 卷第 5 期 2 0 0 5 年 1 0 月北京科技大学学报 OJ u r . a l o f U n i v e r s iyt o f S e ie n e e a n d l’e c h n o l o gy B e ij i n g Vb l . 2 7 N O 一 5 o e t 2 00 5 利用 S il n i k o v 定理构造混沌系统朱淑芹 ” 杨森 ” 张先华 ” 阂乐泉 ’ ,2) l) 北京科技大学应用科学学院数学系 , 北京 10 0 0 83 2 )北京科技大学信息工程学院 , 北京 0r 0 0 83 摘要利用 is l n ik o v 定理构造了一类新的三维二次多项式混沌系统 , 该系统只具有一个平衡点 . 理论分析表明该系统具有 S m al e 马蹄意义的混沌 , 计算机仿真实例显示系统的 S lna le 马蹄具有吸引性 . 利用该方法还可以构造其他的三维二次多项式混沌系统 . 关键词同宿轨道 ; 混沌系统 ; iS hi ko v 定理分类号 0 19 1 近 20 年来 , 混沌动力学系统己在广泛的领域得到应用 , 如大脑神经网络分析、图像数据加密、非线性系统辨识、计算机图形处理、通信和信息处理、生物医学『l,2J , 因此有关混沌的诱发、控制与反控制的研究得到了越来越多的关注 . 有关学者开始研究如何构造新的混沌系统 . 陈关荣和吕金虎在 L o er nz 系统的基础上分别构造出了 hC en 系统和 L v 系统〔3] , 文献 4[ ]基于 is in l k o v 定理构造了一个三维二次多项式混沌系统 . 本文在 is ln 枷 v 定理的基础上 , 构造了一类新的三维混沌二次多项式混沌系统 . 数值仿真表明该系统存在混沌吸引子 . 系统 , 在构造的过程中 , 考查了一些经典的混沌系统 : L 。化sn 系统 , C h en 川系统和 vL 系统囚 , 发现它们的一些共同性质 , 如系统在平衡点的雅可比矩阵的行列式值小于零 , 且特征值有一个负实根 , 和一对具有正实部的共扼复根 . 一般的三维二次多项式系统具有以下形式 : 陈一全。 , 、 + 全二+ia 九= 艺 b声丙+ 艺 b沐汁 b 若护= 】卜 l 允= 艺 c声丙十艺 c沐汁 c ( 2 ) 勺 = 盆卜 l 其中 , 马 , 氏 , 心 , a 、瓦 , 。 , a , b , c( i, ’=j l , 2, 3) 为系数 . 构造的系统形式如下 : 、、, . 少、户. 4 ù 了曰I 、.、了 1 S il n iko v 定理 S InI 彻 v 定理`, , ` ,设 ’X( ’)t = 月州 )t ( l) 其中 , 掩孔 x 任 R 3 , :f 牙一牙且设存在凡任贾使得力恤J = 0 . 令 J = 切卜 ` ) 是力吮) 在平衡点戈的雅可比矩阵 . J 满足以下条件 : ( l) J 有三个特征根 : a ,产i。 , 其中 a 0 刀 , a , 刀 , 。任 R . (2 )存在一条通过平衡点戈的同宿轨道 . 则系统 ( l) 存在 S m al e 马蹄的混沌 . 2 构造新的混沌系统为了构造一个满足 is in 枷 v 定理的新的混沌收稿日期 : 2 00 4 we 0于 10 修回日期 : 2 0 0冬11一 11 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目困。 . 6 0 7 4 0 34 , N .o 70 27 10 68 ) ; 高等学校博士学科点专项科研基金资助项目 (N .o 2 0 0 2 0 0 80 04 ) 作者简介 : 朱淑芹( 19 8 -0 一) , 女 , 硕士研究生 ( 3 ) 其中 , a : 1 , a l Z , a l 3 , a Z , , 仇 2 , a 3 t , a , 2 , b , c 为实参数 . 系统 (3 ) 的平衡点 ( x , , 燕 , 为 )可由系统 (3) 解出 : a , Z b 一 a , 3 a 2详」口一口 22一口一2伪 IX3 丸一土(b +a Z lx 3 ) “ 2 2 其中 , 花是下面方程的实解 : a l 3a Z , 角粥一 ( a : 3a 22 a 3 1+ b a : l a 32+ e a IZ几 l )x, + e a l l a 2 2 +a 12a 3 l b = 0 (6 ) 因此式 (4 ) , (5) 和 (6) 确定了方程 (3) 的一平衡点 , 记作 O :(x , 戏 , 石) . 于是得到系统 (3) 在平衡点的雅可比矩阵为 : , } a 11 . J 一 } a ” x ’ 】“ 3 - a 一2 口 13 口 22 山 IX I a 3挤 3 角2工2 ( 7) 其行列式值为 : d e t切= a l ,伪 2a 3丙一 a . ; a Z ,场式。 x3 一山 : a : Za ,式满+ DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2005. 05. 061

一 63 6 . 北京科技大学学报 2 0 5 年第 5 期 a 2 1a : 3a 3满+ a 3 . a t Z仇 ,x l 一 a , 3a 2刃, , ( 8 ) 相应的特征多项式为 : de t必一刀减 3 +P 刃切扒+q (9 ) 其中 , lP 二一 ( 。刀 +a : , +a 3丙) p2 浅( 2仇 Za , +2 a : l a 3 2 )+a , Z b+a ,:鱼 2一鱼 : a t满一 a l 3a 3 I P 3= 一 Z a , 2a l l a 2汲一 Z a : Za z. a , Lx : 一 a 3 2a : : b 一 a , 2伪 l e 一 a : 3仇 : a 3粥+ a l, a , ,而为 (诊翎 a + 艺a 沁场为(诊= 瓦+ 艺b沁场 ( 17 ) xs( 诊=c6 + 艺帝恤把式 ( 17) 代入式 ( 16) 通过比较系数可得 : `产、. 八O 、尹 9 `且门几. 才 t 1 .、记若满足 : △一图耳图沂笋骊一涯雨伽i妈半剖闪 ! 卫 , } ` +ka(IJ O) , } ” 花 1 一 } 处 ’ 了分} `眨” 气c ` ) ! a 3 2乙 . D粉 ! 、仕尸蕊 , (2 0 ) 、., J夕. 0 门书.1 1. J 了1、 l. 护`.、且刁大于零 , de t切小于零 , 则式 (9 )等于零时 , 有三个根 : 一个实根 a , 两个共扼虚根产i。 , 且 a k , , t ck J } a , ,息b叼与 ()t = ` 。十 Z c追加令 f 么则易知当拼 o 时令正解与负解相等 . 系统 (3) 的同宿轨道可表示如下 : 这里负 , 瓦 , 负是待定系数 , a 为式 (9) 的负实根 . 把式 ( 12) 代入式 (3 )通过比较系数 , 可得 : (a0 , b 。 , c0 ) = (x ;风关) ( 13 ) x l ()t = 为 ()t = 与()t = 解气t 2 0 a 沁气林O 疙问. 铭倒. 疙问. 铭间倒。艺b` 气 t之 0 同样可得 (aI 一 (J O) ) { :: 、 C z 因为 d e (t 口I 一 (J O) )=0 , b : , e l卜 ( 0 , 0 , 0 )有解 ( 14 ) . 且艺b沁加 , 苏O 日碑ǎ刀、卜jales al, b l , c : 可被一个任意参数睿确定 , 即它们可用参数亡表示出来 . 类似地可得出 : 解气 t 七 0 帝加 , 杯0 , 、 ( 0 、 l a k l 1 1 `kaI 一 (J O) ,卜} 一 { “ ’ 】沙卜 >k , , ( , , , ck() 卜护叼由于 de (t胶 xI 一 (J O) )羊 0 (>k l ) , 故 (仇*,b ,c k) 是惟一确定的 . 因此式 ( 12 )代 15) 确定了方程 ( 3) 的一个正解 (t 之 0) . ( 2 ) t` 0 时 . 令。一 t ( t > 0 ) , 则式 (3 )变为 : 综上所述 , 给出如下定理 : 定理若 d e t ()J 和刁分别由式 ( 8) 和式 ( 10) 定义 , det 切 0且式 ( 11) 式成立 , 则系统 (3 )存在 S m al e 马蹄的混沌 . 4 数值仿真 }主 l - }于 - [为= 一口 12工 l一口 l详2 一口一详 3 一 a Z 戊lxs 一口 2详2 一 b 一口 3 I X z一仍琪碑3 一 C 在系统 (3 ) 中 , 令 : a : : = 一 1 . 4 4 , a l Z = 1 . 5 , a : 3 =2 , a3 . ” 一 1 . 5 , 场 2= 一 l , 场一l , ( 16 ) 场厂0 . 1 , 角3= 一 1 . 4 4 , =b 一 1 . 3 , c ` 卫鲤塑匡卫鲤必口一2 这时有混沌吸引子类似于 t > O 的情况 , 令 : 则系统 (3 )满足 is ln 伽 v 定理 . 出现 , 其图像如图 1 所示

VoL27 No.5 朱淑芹等：利用Silnikov定理构造混沌系统 ·637· 96 (a) (6) 6 61 2 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 20 40 60 80 100 图1混沌吸引子.()变量xx:(b)变量随时间的演化；(c)变量随时间的演化：()变量，随时间的演化 Fig.1 Chaos attractor.(a)Variablesxx.Time evolutions of variables:(b)x:;(c)x:;and (d)x 5结论 1998 [2]方锦清.驾驭混沌与发展高新技.北京：原子能出版杜，2001 在考察了几个经典混沌系统和利用Silnikov [3)陈关荣，吕金虎.Lo心z系统族的动力学分析、控制与同步.北京：科学出版杜，2002.112 定理的基础上，建立了一个判别存在Smale马蹄 [4]Zhou T,Chen G,Yang Q.Constructing a new chaotic system bas- 意义混沌的定理，利用该定理构造了一类新的三 ed on the Silnikov criterion.Chaos Solitons Fractals,2004,19: 维二次多式混沌系统.该系统至少具有一个实平 985 衡点，像Lorenz系统一样，具有两个非线性项.数 [5]刘增荣.混沌微扰判据.上海：上海科技教育出版社，146 [6]Silva C P.Silnikov theorem:a tutorial.IEEE Trans Circults 值模拟例子确认了理论的有效性.利用这种构造 Syst-l,1993,40(10675 方法，也可构造其他类型的二次多式混沌系统. [7]Chen G,Ueta T.Yet another chaotic attractor.Int J Bifurcation Ch03,1999,9:1465 参考文献 [8]钱伟长，微分方程的理论及其解法，北京：国防工业出版 [1]Chen G,Dong X.From Chaos to Order:Methodologies,Perspec- 社，381 tives and Applications.Singapore:World Scientific Pub.Co. Constructing a chaotic system based on the Silnikov theorem ZHU Shuqin,YANG Miao,ZHANG Xianhua",MIN Lequan2 1)Applied Science School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Information Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT Based on the Silnikov theorem,a theorem that confirmed the existence of Smale horseshoes sense chaos was set up.Using the theorem,a new kind of quadratic chaotic system could be constructed,which has a uni- que equilibrium point.A numerical simulation example demonstrated that this system could have chaotic attractor. In particular the method could be used to generate other quadratic chaotic systems. KEY WORDS homoclinic orbit;chaotic system;Silnikov theorem

、勺 7 L 2 N 0 . 5 朱淑芹等 : 利用 S U 业o 定理构造混沌系统 n v . 3 7 6 . 图 1 混沌吸引子 . a) 变量声沼 ( xl , ; ( b )变最 x : 随时间的演化 ; c( )变量xz 随时间的演化 ; (d) 变量为随时间的演化 F lg . I C 卜a o s a tr a c t o .r ( a ) Va ir a b l e s x ,丙丙 . n m e e v o l u 柱o n s of v a ir a b l e s : ( b ) x : : ( e ) x2 ; a n d ( d ) x , 5 结论在考察了几个经典混沌系统和利用 is ln 伽 v 定理的基础上 , 建立了一个判别存在 Sm al e 马蹄意义混沌的定理 . 利用该定理构造了一类新的三维二次多式混沌系统 . 该系统至少具有一个实平衡点 , 像 L o ~ 系统一样 , 具有两个非线性项 . 数值模拟例子确认了理论的有效性 . 利用这种构造方法 , 也可构造其他类型的二次多式混沌系统 . 参考文献 [ ] ] C h e n G , D o n g X . F or m C h a o s t o o dr e r : Me ht o d o l o ig e s , p e r s P e e - t i v e s an d A PP li e a it o n s . S i n g a P o 玲: W b r ld S e i e nt iif e P ub . C o . , 19 9 8 2[ ] 方锦清 . 驾驭混沌与发展高新技 . 北京 : 原子能出版社 , 20 01 3[ 」陈关荣 , 吕金虎 . L o re nz 系统族的动力学分析、控制与同步 · 北京 : 科学出版社 , 2 0 02 . 112 4[ ] hZ o u T, C h e n G , Y a n g Q . C o n s trU e t in g a new e h a o t i e sy st e m b a s - e d o n t h e S il n i k o v e ir t e ir o n . C h a o s 5 0 肚t o n s F r a e t a 肠 , 2 0 0 4 , 19 : 9 8 5 5[ 』刘增荣 . 混沌微扰判据 . 上海 :上海科技教育出版社 , 146 [ 6 ] S il v a C R S I nI i k o v ht e眼m : a tu o ir a l . IE E E 介 a n s C 诫 u i妞 S ys -t I , 19 9 3 , 4 0 ( 10 ) : 67 5 【7] C h e n G , U e at 工 eY t an o ht e r ch ao it e a tr a c ot .r I n t J B iof 代a 幼0 . C 卜a o s , 19 9 9 , 9 : 146 5 8[ ] 钱伟长 . 微分方程的理论及其解法 . 北京 : 国防工业出版社 , 3 8 1 C o n s trU c t i n g a e h a o t i e s y s t e m b a s e d o n ht e S iin 议o v ht e o re m Z 厅` hS qu inl ), YA N G 初勿 0 ,2) 乙阮 4刀 G X公 n h u a Z气似从 z L qe ~ ,2)l 1) A P P li e d s e i e n e e S e h o o l , U垃 v e r s ity o f s e i e n c e a o d eT c ha o l o gy B e ij 毗 , B e ij in g 10 0 0 8 3 , C ihn a 2 ) nI of n 刀 a tion E n g i n e e r i n g S ch o o l , U in v e 玲iyt o f s e ien c e an d eT e hn o 1 0 g y B e ij ing , B e ij ign 10 0 0 8 3 , Ch in a A B S T R A C T B a s e d o n ht e S i in l k o v ht e o re m , a ht e oer m t h at e o n if n n e d ht e e x i s t on e e o f S m al e h o r s e s ho e s s e n s e e h a o s w a s s e t uP . U s ign het ht e o o m , a n e w k i n d o f qu a dr at i e hc ao it e s y s et m e o u l d b e e o n s trU e et d , hw i e h h a s a un i - q u e e q u ilib ir um P o iin . A n u m e ir e a l 51们Qu lat ion e x a m Pl e d em o n s t r a t e d ht at ht i s s y s t e m e o u l d h va e e h a o t i e a t r a e ot .r I n P a rt i c u l鱿 ht e m e ht o d e o u l d b e u s e d ot g e n ear te o ht er qu a d r a t i c e h a o t i e s y s et m s . K E Y W O R D S h o m o e lin i e o br it : e h a o t i e s y s ot m ; S iin i k o v ht e o er m