D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1999.05.048 第21卷第5期 北京科技大学学报 Vol.21 No.5 1999年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.1999 小波倒频谱及其应用 吕卫阳 陈克兴 北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要建立了一种新的二次频谱分析方法，首次提出了小波倒频谱的概念.将基于小波倒频 谱的多尺度统计特征量综合监测法应用于徽孔钻削的状态监测，取得了较好的结果， 关键词小波变换：小波倒频谱：徽孔钻削状态监测 分类号TN911.7;TH165.3;TG52 倒频谱分析是近代信号处理中的一项新技 XU)∫xr0cos(2πf)d-j∫广x0sin(2πf)d(5) 术，它在语音分析、回声剔除、振动与噪声源识 则时域信号x()的幅值谱A()和相位谱)分别 别、设备故障诊断等方面均得到成功的应用， 为： 由于徽孔钻削振动信号的频谱非常复杂，而且 AG=、 ∫xt)cos(2πf)d+∫xt)sin(2πfi)d 又没有明显的周期结构，采用传统倒频谱分析 (6) 未能取得满意的效果四，本文采用小波变换对微 ∫”x0sin(2元fi)d (7) 孔钻削振动信号的Fourier频谱进行第2次分 -arctancos()dr 析，取得了较好的效果，并称之为小波倒频谱分 与传统Fourier分析的幅值谱A(f)和相位谱 析方法. )相对应，文中又提出幅值小波倒频谱和相 位小波倒频谱的概念， 1小波倒频谱的定义 定义2将时域信号x(t)的幅值谱A()的小 波变换W,(a,b)称为幅值小波倒频谱(Magnitude 1.1小波倒频谱 定义1称Fourier频谱函数的小波变换为 Wavelet-cepstrum):将时域信号x(t)的相位谱() 的小波变换W(a,b)称为相位小波倒频谱(Phase 小波倒频谱(Wavelet--cepstrum). 设时域信号x(t)经过Fourier变换的频谱函 Wavelet-cepstrum). 数为X),则)的小波变换 如果小波函数W有显函数表达式(2)，则幅 W(a,b)=X,wa}a>0,b∈R (1) 值小波倒频谱W(a,b)和相位小波倒频谱W(a,b) 被定义为时域信号x(t)的小波倒频谱，其中y是 的积分表达式分别为 小波函数，a是尺度参数，b是平移参数 a>0,b∈R(8) 如果小波函数Wb有显函数表达式 w,(a,b=∫ a>0,b∈R(9) v)-a -B a (2) 则式(1)的积分表达式为 2小波倒频谱的物理意义 ab广naf。)g (3 小波倒频谱的物理意义就是对Fourier频谱 1.2幅值小波倒频谱和相位小波倒频谱 函数进行了一次多尺度分析，将Fourier频谱函 根据Fourier分析的理论，时域信号x()的频 数的精细结构展示在小波变换的各个尺度上. 谱函数X)为 不同尺度上的小波倒频谱反映了Fourier频谱 f∫x)ed (4) 函数在各个尺度上的分布情况，小尺度的小波 根据欧拉公式，式(4)可以表示成 倒频谱表示Fourier频谱图上的快速波动或谱 峰间隙较小，即Fourier频谱的细节(Detail)部分： 1998-12-10收稿吕卫阳男，31岁，讲师，博士
第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 小 波倒 频 谱 及 其 应 用 吕卫 阳 陈克兴 北 京科技大学机械工 程 学 院 ， 北 京 摘 要 建立 了一种新的二 次频谱分析方法 ， 首次提 出了小波倒频谱的概念 将基 于 小波倒频 谱的多尺度统计特征量综合监 测 法应用于 微孔钻 削的状态监 测 ， 取 得 了较好 的结果 关键词 小波变换 小波倒频谱 微孔钻 削状 态监 测 分类号 倒频谱分析是近代信号处理 中的一项新技 术 ， 它在语音分析 、 回声剔除 、 振动与噪 声源 识 别 、 设备故障诊断等方面均得到成功 的应用‘，， 由于微孔钻削振动信号 的频 谱非 常复杂 ， 而 且 又没 有 明显 的周 期结构 ， 采用传统倒频谱分 析 未能取得满意的效果 本文采用小波变换对微 孔钻 削振 动信号 的 。 心 频谱进行第 次分 析 ， 取得 了较好 的效果 ， 并称之为小波倒频谱分 析方法 助 一 仁 动 一 仁 ‘ 动 ， 则 时域信号 的幅值谱 沪和 相位谱必切分别 为 ， 。 。 ， 一 飞 沪 一了 二 动 」十 二 ‘ ‘ 咧 ‘」、 了吸、古、 勺﹃厂 、、 中汀 加 卞一护二 万丁一不万动下万 双 乙刃 小波倒频谱 的定义 小波倒频谱 定义 称 丽 频谱 函数 的小波变换为 小波倒频谱，厄 一 七 设时域信 号 经 过 变 换 的频 谱 函 数 为双力 ， 则双乃的小波变换 磷 ， 优弧 。 ， 任 被定义为时域信号 的小波倒频谱 ， 其 中叭 ，，是 小波 函数 ， 是 尺度参数 ， 是 平移参数 如果 小波 函数娇 有显 函 数表达式 了 一 、 ，， 、 汽 ， 一升毋 气兰 丫 ‘ 、 ， 则 式 的积 分表 达式为 ‘ 一 ‘ 、 一 ‘ 。 户三匕 ， 了艺二互、 月 厂 磷 ， 一 二助言峡气广 ， 幅 值小 波倒 频 谱 和 相 位小 波倒 频 谱 根据 分析 的理 论 ， 时域信号 的频 谱 函 数 曰 找力为 双力一 仁 ， 一’动 ， 根据 欧拉公式 ， 式 可 以表 示 成 与传统 分析 的 幅值谱 沪和 相 位谱 中切相对应 ， 文 中又 提 出幅值 小波 倒 频谱和 相 位 小波倒频谱 的概念 定义 将 时域信 号 的幅值谱 切 的小 波变换 毗， 称 为幅值小波 倒频谱 一 将 时域信号 的相 位谱必沪 的小波变换 叽 ， 称 为相 位 小波 倒频谱 叭厄 一 如 果 小波 函 数 蜘有 显 函 数表 达式 ， 则 幅 值 小波倒频谱 溅 ， 和 相位 小波倒 频谱 叽 ， 的积 分 表达 式分 别 为 矶‘一”，一 仁 味昭 ， 一 ， ” ‘ 叽 一”，一仁， 味瞪 一 ， ” 任 ， 。 收稿 吕卫 阳 男 ， 岁 ， 讲 师 ， 博士 小 波倒 频 谱 的物理意 义 小波倒 频谱 的物 理意 义 就 是 对 频 谱 函 数 进行 了一 次 多尺 度 分 析 ， 将 硕 频 谱 函 数 的精细 结 构展 示 在 小波 变换 的各个尺度上 不 同尺 度上 的 小波倒频谱 反 映 了 频 谱 函 数在 各个 尺度上 的分 布情 况 ， 小尺 度 的小波 倒频谱表示 。 诚 频谱 图上 的快速波动或谱 峰 间隙较 小 ， 即 频 谱 的细 节 部 分 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1999．05．048
·492· 北京科技大学学报 1999年第5期 大尺度的小波倒频谱表示Fourier频谱图上的 支集正交小波变换).由于微孔钻削振动信号幅 慢速波动或谱峰间隙较大，即Fourier频谱的轮 值谱的数据点数为512，因此可以进行9尺度小 廓(Contour)部分.因此可以说小波倒频谱就是 波倒频谱分析. 将Fourier频谱放在“数学显徽镜”下进行分析 从微孔钻削振动信号频谱结构分析可知， 和处理 随着钻头的磨损，傲孔钻削振动信号幅值谱的 谱峰值增多，也即是幅值谱的快速波动加强，从 3小波倒频谱在微孔钻削状态监测 小波倒频谱的物理意义可知，小尺度的小波倒 中的应用 频谱表示Fourier频谱图上的快速波动情况.因 此选择前5尺度作为特征尺度来对微孔钻削振 3,1微孔钻削振动信号的幅值小波倒频谱 动信号的幅值小波倒频谱进行计算和分析 文献[2]采用振动监测法对1mm以下的微 32多尺度统计特征量综合监测法 孔钻削加工过程进行监测.钻头在初期磨损、中 为了能够有效地描述微孔钻削振动信号在 期磨损、后期磨损和钻头折断时微孔钻削振动 各尺度上的幅值小波倒频谱的变化规律，并以 信号的时域波形如图1所示，幅值小波倒频谱 此规律来作为微孔钻削状态监测的一种方法， 如图2所示，其中小波变换采用Daubechies紧 本文采用各尺度幅值小波倒频谱的最大模和标 10000 5000 准偏差来作为描述幅值小波倒频谱变化规律的 0 688 特征量，并称之为多尺度统计特征量综合监测 1988 (Integrated Monitoring by Statistic Parameters in Multiple Scale),简称MMS.小波倒频谱的最大 -i88 模表示小波倒频谱变化的激烈程度，即描述了 (c) Fourier频谱在该尺度上变化的激烈程度：小波 888 倒频谱的标准偏差表示小波倒频谱的波动大 1988 (d) 小，即描述了Fourier频谱在该尺度上的波动大 -5008 小.小波倒频谱的最大模WC和标准偏差 -10000 WCe的计算公式分别为 15 30 45 60 t/ms WC=maxlwc(i) (10) 图1微孔钻削振动信号的时域波形， WCndcv- nE[wd(i)]-[Ewc(i)] (11) (a)初期磨损：(b)中期磨损：(c)后期磨 图3所示为微孔钻削过程振动信号的 损：(d钻头折断. IMMS最大模直方图，从图3中我们可以清楚 1500 地看出，随着钻头磨损的加剧，幅值小波倒频谱 1000 的IMMS最大模在各尺度上有如下的变化规 3 律：(1)在1尺度、2尺度和3尺度上，MMS最大 500 模明显呈上升趋势.(2)在4尺度上，钻头的初 1000 500 期、中期和后期磨损阶段，MMS最大模上升： 当钻头折断时，MMS最大模变化不明显.(3)在 5尺度上，MMS最大模的变化无明显规律， 500 图4所示为微孔钻削过程振动信号的 500 MMS标准偏差直方图.从图4中我们可以清 500 楚地看出，随着钻头磨损的加剧，幅值小波倒频 500 谱的M①MS标准偏差在各尺度上有如下的变化 129 257 385 513 采样点数 规律：(1)在1尺度、2尺度和3尺度上，IMMS标 准偏差明显呈上升趋势.(2)在4尺度上，钻头的 图2微孔钻削振动信号的幅值小波倒频谱 (a)初期磨损：(b)中期磨损：(c)后期磨损：(d)钻 初期、中期和后期磨损阶段，IMS标准偏差上 头折断. 升：当钻头折断时，MMS标准偏差变化不明显
北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 大 尺度 的小波倒频谱表 示 频 谱 图上 的 慢速波动或谱峰间 隙较大 ， 即 。 硕 频谱 的轮 廓 部 分 因此可 以说 小波倒 频谱 就 是 将 。 而 频谱放在 “ 数学 显微镜 ” 下 进行 分 析 和 处 理 小波倒频谱在微孔钻 削状 态监测 中的应 用 微 孔钻 削振 动信号 的幅值 小 波倒频谱 文 献 采用 振动 监测 法对 以下 的微 孔钻削加 工过程进行监测 钻头在初期磨损 、 中 期 磨损 、 后 期磨损和 钻 头折 断 时微 孔钻 削振动 信 号 的时域波 形如 图 所示 ， 幅值 小波倒频 谱 如 图 所示 ， 其 中小波变换采用 紧 一 一 一 尽 一 之 己姗 腼姗嘟嘟畔嚼 一 一 伽晒嘟脚咖枷 一 。 。 一 枷峋喇吵咖 图 微孔钻削振 动信号 的 时域波形 初期磨损 伪 中期 磨 损 后 期 磨 损 钻 头折 断 支集正交小波变换 由于微孔钻削振动信号幅 值谱 的数据 点数为 ， 因此可 以进行 尺度 小 波倒频谱分析 从微孔钻削振动信号 频谱结构分 析可 知 「 ， 随着钻 头 的磨损 ， 微孔钻 削振动 信号幅值谱 的 谱峰值增 多 ， 也 即是 幅值谱 的快速波动加 强 从 小波倒频谱的物理 意义可 知 ， 小尺度 的小波倒 频谱表 示 。 心 频谱 图上 的快速波动情况 因 此选择前 尺度作为特征尺 度来对微孔钻削振 动信号 的幅值 小波倒频谱进行计 算和 分析 多尺 度统计特征 量 综合监测 法 为 了能够有效地描述 微孔钻 削振动信 号在 各 尺 度上 的幅 值小波 倒频谱 的变化规律 ， 并 以 此 规 律来作 为微孔钻 削状态监测 的一 种 方 法 ， 本文采用各尺度幅值小波倒频谱的最大模和标 准偏差 来作为描 述幅值小波倒频谱变化规律的 特征量 ， 并称之 为多尺度统计特征量综合监测 法 ， 简称 且吐 小波 倒频谱的最大 模表示 小波倒频谱变化 的激烈 程度 ， 即描述 了 硕 频 谱在该 尺 度上变化 的激烈程度 小波 倒 频 谱 的标 准 偏 差 表 示 小波倒频谱 的波动 大 小 ， 即描述 了 频谱在该尺度上 的波动大 小 小 波 倒 频 谱 的 最 大 模 牙斌幽 和 标 准 偏 差 牙 目创 的计算公式分别为 甲 沁 牙 山 艺 试 〕 一 艺 ‘ 一 二 阿 ” ” ‘ 。 二 。 四” ” 。 嘿 。 洛、匀日 ﹃姗朋 一 ， ‘ 、 ， ， ‘ 匡 ” 川 ” ， 采样 点数 图 微孔钻削振 动信号 的幅值小波倒频谱 初期 磨损 中期磨损 后期磨损 钻 头折断 图 所 示 为 微 孔 钻 削 过 程 振 动 信 号 的 最 大模直方 图 从 图 中我们 可 以清 楚 地看 出 ， 随着钻头磨损 的加剧 ， 幅值小波倒频谱 的 最大模在各尺度上有 如 下 的变化规 律 在 尺度 、 尺度和 尺度上 ， 最大 模 明显 呈 上 升趋势 在 尺 度上 ， 钻头 的初 期 、 中期和 后期磨损阶段 ， 最大模上 升 当钻头折 断时 ， 最大模变化不 明显 在 尺度上 ， 最 大模 的变化无 明显规律 图 所 示 为 微 孔 钻 削 过 程 振 动 信 号 的 标准偏差 直方 图 从 图 中我们 可 以清 楚地看 出 ， 随着钻 头磨损 的加剧 ， 幅值小波倒频 谱的 标准偏差 在各尺 度上 有如下 的变化 规律 在 尺度 、 尺度和 尺 度上 ， 标 准偏差 明显 呈上升趋势 在 尺度上 ， 钻头的 初期 、 中期和 后期磨损阶段 ， 标准 偏差 上 升 当钻 头折 断 时 ， 标准偏 差 变化不 明显
Vol.21 No.5 吕卫阳等：小波倒频谱及其应用 ·493· 1000 500 a 459 65 120 71 176 200a 100 0 11 28 0 2000⑥ 1000 956 400o) 228 79 108 290 20 15 32 52 0 0 1000© 71 200c T29 500 120 142 210 100h 29 48 58 53322 1000 200 [(d) 100 73 101 500 1 140 239 329 312 0 羽 0 1000 250e212 (e)549 198 523 508 586 200 187 186 500 150 2 8 0 初期磨损中期磨损后期磨损钻头折断 初期磨损中期磨损后期磨损钻头折断 图3微孔钻削振动信号的MMS最大模.(a)1尺度 图4微孔钻削振动信号的MMS标准偏差.(a)1尺度 小波倒频谱：b)2尺度小波倒频谱；（©）3尺度小波倒 小波倒频谱：(b)2尺度小波倒频谱；©)3尺度小波倒频 频谱；d4尺度小波倒频谱；e)5尺度小波倒频谱. 谱；(d)4尺度小波倒频谱；（©）5尺度小波倒频谱. (3)在5尺度上，MMS标准偏差的变化无明显 了一种新的二次频谱分析方法，并将其应用于 规律. 工程实际，取得了如下成果：(1)首次提出小波 以上的分析结果说明，微孔钻削振动信号 倒频谱的概念，建立了小波倒频谱分析方法的 幅值小波倒频谱的前3个尺度IMMS最大模和 理论，并应用于微孔钻削的状态监测，取得了较 标准偏差的变化规律无疑是微孔钻削状态监测 好的结果.(2)对傲孔钻削振动信号进行了幅值 的一种有效的方法 小波倒频谱分析，提出了多尺度统计特征量综 采用Fourier分析方法对微孔钻削振动信号 合监测法，为微孔钻削状态监测提供了一种有 的分析结果是定性的四，阅值设定比较困难，而 效的方法. 本文所研究的小波倒频谱分析方法可以实现对 参考文献 微孔钻削振动信号的定量分析，因此在工程应 1陈克兴，李川奇.设备状态监测与故障诊断技术.北 用中，只要设定适当的监测阙值，就可以用来对 京：科学技术文献出版社，1991.54 微孔钻削过程进行状态监测. 2吕卫阳.小波和分形在微孔钻削状态监测中的应用 研究：[学位论文.北京：北京科技大学，1998 4结语 3 Daubechies I.Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets.Comm on Pure and Applied Mathematics, 在Fourier分析和小波分析的基础上，建立 1988.XLI:909 Wavelet-cepstrum and Its Application Lii Weiyang, Chen Kexing Mechanical Engineering School,UST Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT A new method for further frequency analysis whose name is wavelet-cepstrum is established. The method of IMMS(Integrated Monitoring by Statistic Parameters in Multiple Scale)based on wavelet-ce- pstrum analysis is applied to condition monitoring of microbore drilling and the results are satisfactory. KEY WORDS wavelet transform;wavelet-cepstrum;condition monitoring of microbore drilling
吕卫 阳等 小波倒频谱及其应 用 一 ，， ，票 ， 滋 ， 绷 、 ， 篇 篇 赢 瞩 ‘ 滋 幽 幽 瀚 撇 娥 儡 ，‘，人，︸，二﹄， ，产‘ ︸匀日 一 二 截 嫩 ⑥ ， 黑 瀚 坠 监 儡 嫩 、匀日 初期磨损 中期磨损 后期磨损 钻头折断 圈 徽孔钻削振动信号 的 最大模 尺 度 小波侧撅讲 助 尺 度小波倒频讲 尺 度小波倒 绷讼 尺度小波侧颇谱 尺 度小波倒频谱 在 尺度上 ， 标准偏差 的变化 无 明显 规律 以上 的分析结果说明 ， 微孔钻削振动信 号 幅值小波倒频谱的前 个尺度 最大模和 标准偏差 的变化规律无疑是微孔钻削状态监测 的一种有效的方法 采用 分析方法对微孔钻削振动信号 的分析结果是定性 的口，， 闽值设定 比较 困难 ， 而 本文所研究的小波倒频谱分析方法可 以实现对 微孔钻削振动信号的定量分析 ， 因此在工 程应 用 中 ， 只要设定适 当的监测 阑值 ， 就可 以用来对 微孔钻削过程进行状态监测 初期磨损 中期磨损 后期磨损 钻头折断 图 做孔钻 削振动信号 的 城 标准偏 差 尺 度 小波倒频谱 尺度小波倒频谱 尺 度小波倒频 谱 尺 度小波倒频谱 尺 度小波倒频谱 了一种新 的二 次频谱分 析方法 ， 并 将 其应用 于 工 程 实际 ， 取得 了如下成果 首次提 出小波 倒频 谱 的概念 ， 建立 了小 波倒频谱分析方法 的 理论 ， 并应用 于微孔钻削 的状态监测 ， 取得 了较 好 的结果 对微孔钻 削振动信 号进行 了幅值 小波 倒 频谱分 析 ， 提 出 了 多尺度统 计特征 量综 合 监 测 法 ， 为微孔钻 削状 态 监测 提 供 了一 种有 效 的 方法 结语 在 分析和 小波分析 的基础 上 ， 建立 参 考 文 献 陈克兴 ， 李 川奇 设备状态监 测与故障诊断技术 北 京 科学技术文 献 出版社 ， 吕卫 阳 小波和 分形在微 孔钻 削状态监测 中的应 用 研 究 汇学位论文 北 京 北京科技大学 ， 台 们阴 ， ， 认厄 一 左 肠 ， 欧 ， ， ， 时 一 · 血 掀 面 · 一 面
