D0I:10.13374/1.issnl00103.2007.09.048 第29卷第9期 北京科技大学学报 Vol.29 No.9 2007年9月 Journal of University of Science and Technology Beijing Sep·2007 模糊环境下资金预算的机会约束NPV目标规划模型 黄晓霞 北京科技大学经济管理学院，北京100083 摘要运用净现值方法，考虑了当投资金额和回收期的现金流入与流出均为模糊变量，且投资者有多个目标时的资金预算 问题，建立了资金预算的机会约束目标规划模型，并采用基于模糊模拟的遗传算法求解了模型问题· 关键词资金预算：模糊环境：模糊目标规划：机会约束规划 分类号F224.5 资金预算是投资者面对多个可能的投资项目 值[，即为： 时，考虑如何选择项目，以获得最大的投资收益，由 于项目投资期以及投资回收期较长，所以在作投资 Cr≤r=(Pos≤r+Nee≤r) 分析时，必须考虑资金的时间价值，净现值(NPV) 2资金预算问题与机会约束目标规划 方法按基准收益率或设定的折现率将投资项目各年 的净现金流（现金流入一现金流出）折现到投资起 模型 点，是考虑了资金的时间价值后，对投资项目进行动 经典的资金预算问题是由Lorie和Savagel]提 态评价的最重要的指标之一，经典的预算分析方 出的，假设某一工厂要在k个投资项目中选择最适 法)将项目投资额以及投资回收期的年净现金流 宜的投资项目，以获得最大的投资收益。假设a 考虑为确定值，而且决策目标大多为单一的投资收 (m=1,2,…,u)代表项目j第m个投资年年初的 益最大化，].但是在现实中，由于诸多的政治、 投资支出，dm代表项目j投资回收期第n年年末的 经济、社会的原因，投资者往往只能对这些投资参数 净现金流（净现金流=现金流入一现金流出），= 做出大概的估计，而且投资者往往会有多个目标， 1,2,…,v,其中v为项目的寿命，设基准收益率为 鉴于这种现实，本文考虑了当初期投资以及投 i,x为如下定义的决策变量： 资回收期的净现金流为模糊变量时的资金预算问 1, 题，给出了机会约束目标规划模型. 0, 不选项目=1,2…，. 选择项目j 选择项目j后可带来的收益净现值为： 1 可能性、必要性与可信性测度 模糊集理论最早是由Zadeh可在1965年提出 的，此后许多学者发展了模糊集理论，使其得到了 如果投资期每年可用于投资的预算资金为am, 长足的发展，模糊变量成为用来描述模糊现象的数 m=1,2,…,u则投资约束为： 学工具并在许多领域得到了应用[]. 设是隶属函数为μ的模糊变量，π是任一实 启a则不amm=0,l,…,4. 数，模糊事件≤r的可能性为： 用模型表示，就是： Pos{≤r=s(u) dai 台台(1+) max∠ 该模糊事件≤r的必要性为： s.t. Nec{≤r=1-Pos{>r=1一s9(u) 其可信性测度是可能性测度与必要性测度的平均 合aj≤aum=0,1,…u 收稿日期：2006-04-20修回日期：2006-09-12 x∈{0,1，j=1,2,…,k 基金项目：国家杰出青年基金资助项目(N。,60425309) 模型中，投资者将获得最大净现值收益作为唯 作者简介：黄晓霞(1970-)，女，副教授 一目标.如果投资者较谨慎，为了避免因资金不足
模糊环境下资金预算的机会约束 NPV 目标规划模型 黄晓霞 北京科技大学经济管理学院北京 100083 摘 要 运用净现值方法考虑了当投资金额和回收期的现金流入与流出均为模糊变量且投资者有多个目标时的资金预算 问题建立了资金预算的机会约束目标规划模型并采用基于模糊模拟的遗传算法求解了模型问题． 关键词 资金预算；模糊环境；模糊目标规划；机会约束规划 分类号 F224∙5 收稿日期：2006-04-20 修回日期：2006-09-12 基金项目：国家杰出青年基金资助项目（No．60425309） 作者简介：黄晓霞（1970—）女副教授 资金预算是投资者面对多个可能的投资项目 时考虑如何选择项目以获得最大的投资收益．由 于项目投资期以及投资回收期较长所以在作投资 分析时必须考虑资金的时间价值．净现值（NPV） 方法按基准收益率或设定的折现率将投资项目各年 的净现金流（现金流入—现金流出）折现到投资起 点是考虑了资金的时间价值后对投资项目进行动 态评价的最重要的指标之一．经典的预算分析方 法［1—2］将项目投资额以及投资回收期的年净现金流 考虑为确定值而且决策目标大多为单一的投资收 益最大化［13—4］．但是在现实中由于诸多的政治、 经济、社会的原因投资者往往只能对这些投资参数 做出大概的估计而且投资者往往会有多个目标． 鉴于这种现实本文考虑了当初期投资以及投 资回收期的净现金流为模糊变量时的资金预算问 题给出了机会约束目标规划模型． 1 可能性、必要性与可信性测度 模糊集理论最早是由 Zadeh ［5］ 在1965年提出 的．此后许多学者发展了模糊集理论使其得到了 长足的发展模糊变量成为用来描述模糊现象的数 学工具并在许多领域得到了应用［6—7］． 设ξ是隶属函数为μ的模糊变量r 是任一实 数模糊事件ξ≤ r 的可能性为： Pos｛ξ≤ r｝＝sup u≤ r μ（ u）． 该模糊事件ξ≤ r 的必要性为： Nec｛ξ≤ r｝＝1—Pos｛ξ＞ r｝＝1—sup u＞ r μ（ u）． 其可信性测度是可能性测度与必要性测度的平均 值［6］即为： Cr｛ξ≤ r｝＝ 1 2 （Pos｛ξ≤ r｝＋Nec｛ξ≤ r｝）． 2 资金预算问题与机会约束目标规划 模型 经典的资金预算问题是由 Lorie 和 Savage ［8］提 出的．假设某一工厂要在 k 个投资项目中选择最适 宜的投资项目以获得最大的投资收益．假设 amj （ m＝12…u）代表项目 j 第 m 个投资年年初的 投资支出dnj代表项目 j 投资回收期第 n 年年末的 净现金流（净现金流＝现金流入—现金流出）n＝ 12…v其中 v 为项目的寿命．设基准收益率为 ixj 为如下定义的决策变量： xj＝ 1 选择项目 j 0 不选项目 j j＝12…k． 选择项目 j 后可带来的收益净现值为： ∑ k j＝1 ∑ v n＝1 dnj （1＋ i） n xj． 如果投资期每年可用于投资的预算资金为 am m＝12…u则投资约束为： ∑ k j＝1 amjxj≤ amm＝01…u． 用模型表示就是： max∑ k j＝1 ∑ v n＝1 dnj （1＋ i） n xj s．t． ∑ k j＝1 amjxj ≤ amm ＝01… u xj ∈｛01｝j ＝12…k 模型中投资者将获得最大净现值收益作为唯 一目标．如果投资者较谨慎为了避免因资金不足 第29卷 第9期 2007年 9月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．29No．9 Sep．2007 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2007．09．048
.958 北京科技大学学报 第29卷 而导致投资行为天折，将投资金额不超出预算作为 题中，染色体与解的结构是一致的 第一级目标，而将获得最大收益作为第二级目标，则 步骤1从{0,1}中随机产生popsize个染色 上述问题就转化为目标规划问题. 体，由于约束为决策变量取0或1的值，因此这pop 期初投资额和回收期的净现金流往往只能预测 size个染色体即为初始可行染色体， 出大概的数值，这时投资者可以将这些参数视为模 步骤2运用模糊模拟计算所有染色体的目标 糊变量，在参考相关项目数据后，给出其隶属函 值.这里，因为优先级1远远优于优先级2，所以取 数9-101 p1=10000,p2=1. 设表示期初模糊投资额，n则表示投资回收 步骤3按照目标值对染色体的好坏进行排 期的模糊净现金流，显然，由于这些参数为模糊变 序，染色体越好，其对应的序号越小，然后使用基于 量，包含这些模糊变量的函数无法给出一个确定的 序的评价函数，并计算染色体的适应度.接着基于 值.可以借鉴Charnes和Cooper[]提出的机会约束 染色体的适应度，用轮盘赌的方法选择染色体， 规划的思想，要求目标至少以一定的置信水平实现 步骤4对染色体进行交叉、变异操作，更新染 假设投资者给出的目标水平和优先结构如下. 色体 优先级1在可信性B下，年投资额尽可能不 步骤5重复步骤3和步骤4，直到给定的循环 超过当年预算，则该目标可表达为： 次数. C2wa≤t,m=1,2≥g 步骤6将最好的染色体提出，作为最优解. 其中，dV0是偏离目标值的B一正偏差 4算例 优先级2在可信性α下，收益净现值尽可能 使用C语言进行编程求解，遗传算法中的参数 不低于目标值b,则该目标可表达为 设为：种群规模为30，交叉概率为0.3，变异概率为 cb空s西≥a 0.2,基于序的评价函数中的参数为0.05. 假设有四个彼此独立的可供投资的项目，每个 其中，d2V0是偏离目标值的α一负偏差，如果b 项目的投资期为1a,投资预算额为800万元，每个 值足够大，则表明收益净现值越大越好 项目寿命终了都无残值，每个项目期初模糊投资额 资金预算的机会约束目标规划模型可以表达 以及投资回收期的模糊年净现金流分别为表1和表 为： 2所示的模糊变量， min[pi(di VO)+p2(d2 VO)] 设基准收益率为每年6%，如果投资者给出的 s.t. 目标优先结构和目标值如下： 白a≤dim=1.2≥月 (1)希望在0.95的可信性下，投资金额不超出 预算800万元 (2)希望在0.90的可信性下，投资总收益的净 现值能达到3000万元 ∈0,1，j=1,2,…,k 那么，资金预算的目标规划机会约束模型为： 其中，p1、P2为优先因子，表示各个目标的相对重要 min[pi(df V)+pz(dz VO)] 性 3基于模糊模拟的遗传算法 遗传算法由Holland2]提出，它运用生物界适 4x4-8≤d ≥0.95 者生存的原则，求取问题的最优解，遗传算法通过 群体的信息交换与更新，搜索不易局限于局部极值， G30- 台(1+0.06)1+ 能有效地求解复杂的优化问题.借鉴文献[7]，采用 将模糊模拟与遗传算法结合起来的方法求解模型问 (1+0.06r3+ 题的最优解3]. 4 在设计遗传算法进行最优解搜索之前，要定出 (1+0.06)4≤d≥0.90 染色体与解的对应表示结构，在本文提出的模型问 x∈{0,1{，j=1,2,3,4
而导致投资行为夭折将投资金额不超出预算作为 第一级目标而将获得最大收益作为第二级目标则 上述问题就转化为目标规划问题． 期初投资额和回收期的净现金流往往只能预测 出大概的数值这时投资者可以将这些参数视为模 糊变量在参考相关项目数据后给出其隶属函 数［9—10］． 设ξmj表示期初模糊投资额ηnj表示投资回收 期的模糊净现金流．显然由于这些参数为模糊变 量包含这些模糊变量的函数无法给出一个确定的 值．可以借鉴 Charnes 和 Cooper ［11］提出的机会约束 规划的思想要求目标至少以一定的置信水平实现． 假设投资者给出的目标水平和优先结构如下． 优先级1 在可信性 β下年投资额尽可能不 超过当年预算则该目标可表达为： Cr ∑ k j＝1 ξmjxj— am≤ d ＋ 1 m＝12…u ≥β． 其中d ＋ 1 ∨0是偏离目标值的 β———正偏差． 优先级2 在可信性 α下收益净现值尽可能 不低于目标值 b则该目标可表达为： Cr b —∑ k j＝1 ∑ v n＝1 ηnj （1＋ i） n xj≤ d — 2 ≥α． 其中d — 2 ∨0是偏离目标值的 α———负偏差如果 b 值足够大则表明收益净现值越大越好． 资金预算的机会约束目标规划模型可以表达 为： min［ p1（d ＋ 1 ∨0）＋ p2（d — 2 ∨0）］ s．t． Cr ∑ k j＝1 ξmjxj — am ≤ d ＋ 1m ＝12…u ≥β Cr b—∑ k j＝1 ∑ v n＝1 ηnj （1＋ i） nxj ≤ d — 2 ≥α xj ∈｛01｝j ＝12…k 其中p1、p2 为优先因子表示各个目标的相对重要 性． 3 基于模糊模拟的遗传算法 遗传算法由 Holland ［12］ 提出它运用生物界适 者生存的原则求取问题的最优解．遗传算法通过 群体的信息交换与更新搜索不易局限于局部极值 能有效地求解复杂的优化问题．借鉴文献［7］采用 将模糊模拟与遗传算法结合起来的方法求解模型问 题的最优解［13］． 在设计遗传算法进行最优解搜索之前要定出 染色体与解的对应表示结构．在本文提出的模型问 题中染色体与解的结构是一致的． 步骤1 从｛01｝中随机产生 popsize 个染色 体由于约束为决策变量取0或1的值因此这 popsize 个染色体即为初始可行染色体． 步骤2 运用模糊模拟计算所有染色体的目标 值．这里因为优先级1远远优于优先级2所以取 p1＝10000p2＝1． 步骤3 按照目标值对染色体的好坏进行排 序染色体越好其对应的序号越小．然后使用基于 序的评价函数并计算染色体的适应度．接着基于 染色体的适应度用轮盘赌的方法选择染色体． 步骤4 对染色体进行交叉、变异操作更新染 色体． 步骤5 重复步骤3和步骤4直到给定的循环 次数． 步骤6 将最好的染色体提出作为最优解． 4 算例 使用 C 语言进行编程求解．遗传算法中的参数 设为：种群规模为30交叉概率为0∙3变异概率为 0∙2基于序的评价函数中的参数为0∙05． 假设有四个彼此独立的可供投资的项目每个 项目的投资期为1a投资预算额为800万元．每个 项目寿命终了都无残值．每个项目期初模糊投资额 以及投资回收期的模糊年净现金流分别为表1和表 2所示的模糊变量． 设基准收益率为每年6％如果投资者给出的 目标优先结构和目标值如下： （1） 希望在0∙95的可信性下投资金额不超出 预算800万元． （2） 希望在0∙90的可信性下投资总收益的净 现值能达到3000万元． 那么资金预算的目标规划机会约束模型为： min［ p1（ d ＋ 1 ∨0）＋ p2（ d — 2 ∨0）］ s．t． Cr ∑ k j＝1 ξ1x1＋ξ2x2＋ξ3x3＋ ξ4x4—8≤ d ＋ 1 ≥0∙95 Cr 30—∑ 10 n＝1 η1 （1＋0∙06） n x1＋ ∑ 8 n＝1 η2 （1＋0∙06） nx2＋∑ 10 n＝1 η3 （1＋0∙06） nx3＋ ∑ 8 n＝1 η4 （1＋0∙06） n x4 ≤ d — 2 ≥0∙90 xj ∈｛01｝j ＝1234 ·958· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷
第9期 黄晓霞：模糊环境下资金预算的机会约束NPV目标规划模型 .959 经过6000次迭代后，基于模糊模拟的遗传算 文所设计的算法能很好地解决所提出的资金预算的 法给出的最优资金分配计划为x*=(1,0,1,0),该 机会约束目标规划模型. 计划能很好地满足第一目标，但离第二目标值还有 5.81的负偏差.这意味着，如果投资者选择项目1 参考文献 和项目2，在95%的可信性下，投资资金不会超过预 [1]Weingartner H M.Mathematical Programming and the Analysis 算，虽然在90%的可信性下投资总收益的净现值不 of Capital Budgeting Problems.Prentice Hall:Englewood Press. 1963 能达到预期设定的目标值3000万元，但是在90% [2]Megginson W L.Corporate Finance Theory.London:Pearson 的可信性下，投资总收益的净现值可以达到2419 Education Limited.1997 万元 [3]MyersS C.A note on linear programming and capital budgeting. Jin,1972,27:89 表1投资支出 [4]Padberg M.Optimal project selection when borrowing and lending Table 1 Investment outlay rates differ.Math Comput Modell.1999.29:63 项目 投资支出/10元 项目 投资支出/10元 [5]Zadeh L.Fuzzy sets.Inf Control.1965.8:338 1 51=(2.5,3.4) 3 5=(2,3,4) [6]Liu B.Liu Y K.Expected value of fwzy variable and fwzy ex 2 2=(3,4,5) 9=(3,4.5,5) pected value models.IEEE Trans Fwzzy Syst.2002.10(4):445 [7]刘宝碇，赵瑞清，王纲.不确定规划及应用北京：清华大学 表2回收期每年末的投资回收期净现金流 出版社，2003 Table 2 Annual net cash flow [8]Lorie J H.Savage L J.Three problems in capital rationing J 项目 年净现金流/105元 项目寿命/a Business,1955,28:229 [9]Kumar N V,Ganesh L S.An empirical analysis of the use of the 1 h=(1.5,2,3) 10 analytic hierarchy process for estimating membership values in a 2 2=(2,3,3.5) F fwzzy set.Fuzzy Sets Syst.1996.96:1 3 1%=(1,2.5,3) 10 [10]Avineri E.Prashker J.Ceder A.Transportation projeets selee- 7=(2,2.5,4) tion process using fuzzy sets theory.Fuzy Sets Syst.2000. 116,35 [11]Charnes A,Cooper WW.Chanceconstrained programming 5结论 Manage Sci.1959.6:73 [12]Holland J H.Adaptation in Natural and Artificial Systems.Ann 考虑了资金的时间价值，给出了当期初投资金 Arbor:University of Michigan Press.1975 额和投资回收期的净现金流为模糊变量时，资金预 [13]Huang X.Chance-constrained programming models for capital 算的机会约束目标规划模型，并且采用基于模糊模 budgeting with NPV as fuzzy parameters.J Comput Appl 拟的遗传算法解决提出的优化模型.算例显示，本 Math,2007,198:149 Chance-constrained goal programming model for capital budgeting problems in fuzzy environment HUANG Xiaoxia Economics and Management School.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACI The net present value method was extended to fuzzy environment.A chance constrained goal pro gramming model for capital budgeting in fuzzy environment was proposed.A fuzzy simulation based on genetic algorithm was employed to provide a general solution for the new model problem.A numerical example was pre- sented to illustrate the modeling idea and the effectiveness of the proposed algorithm KEY WORDS capital budgeting:fuzzy environment;fuzzy goal programming;chance constrained program- ming
经过6000次迭代后基于模糊模拟的遗传算 法给出的最优资金分配计划为 x ∗＝（1010）．该 计划能很好地满足第一目标但离第二目标值还有 5∙81的负偏差．这意味着如果投资者选择项目1 和项目2在95％的可信性下投资资金不会超过预 算虽然在90％的可信性下投资总收益的净现值不 能达到预期设定的目标值3000万元但是在90％ 的可信性下投资总收益的净现值可以达到2419 万元． 表1 投资支出 Table1 Investment outlay 项目 投资支出／106 元 1 ξ1＝（2∙53∙4） 2 ξ2＝（345） 项目 投资支出／106 元 3 ξ3＝（234） 4 ξ4＝（34∙55） 表2 回收期每年末的投资回收期净现金流 Table2 Annual net cash flow 项目 年净现金流／106 元 项目寿命／a 1 η1＝（1∙523） 10 2 η2＝（233∙5） 8 3 η3＝（12∙53） 10 4 η4＝（22∙54） 8 5 结论 考虑了资金的时间价值给出了当期初投资金 额和投资回收期的净现金流为模糊变量时资金预 算的机会约束目标规划模型并且采用基于模糊模 拟的遗传算法解决提出的优化模型．算例显示本 文所设计的算法能很好地解决所提出的资金预算的 机会约束目标规划模型． 参 考 文 献 ［1］ Weingartner H M．Mathematical Programming and the Analysis of Capital Budgeting Problems．Prentice—Hall：Englewood Press 1963 ［2］ Megginson W L．Corporate Finance Theory．London：Pearson Education Limited1997 ［3］ Myers S C．A note on linear programming and capital budgeting． J Fin197227：89 ［4］ Padberg M．Optimal project selection when borrowing and lending rates differ．Math Comput Modell199929：63 ［5］ Zadeh L．Fuzzy sets．Inf Control19658：338 ［6］ Liu BLiu Y K．Expected value of fuzzy variable and fuzzy expected value models．IEEE Trans Fuzzy Syst200210（4）：445 ［7］ 刘宝碇赵瑞清王纲．不确定规划及应用．北京：清华大学 出版社2003 ［8］ Lorie J HSavage L J．Three problems in capital rationing．J Business195528：229 ［9］ Kumar N VGanesh L S．An empirical analysis of the use of the analytic hierarchy process for estimating membership values in a fuzzy set．Fuzzy Sets Syst199696：1 ［10］ Avineri EPrashker JCeder ATransportation projects selection process using fuzzy sets theory．Fuzzy Sets Syst2000 116：35 ［11］ Charnes ACooper W W．Chance-constrained programming． Manage Sci19596：73 ［12］ Holland J H．Adaptation in Natural and Artificial Systems．Ann Arbor：University of Michigan Press1975 ［13］ Huang X．Chance-constrained programming models for capital budgeting with NPV as fuzzy parameters． J Comput Appl Math2007198：149 Chance-constrained goal programming model for capital budgeting problems in fuzzy environment HUA NG Xiaoxia Economics and Management SchoolUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT The net present value method was extended to fuzzy environment．A chance-constrained goal programming model for capital budgeting in fuzzy environment was proposed．A fuzzy simulation based on genetic algorithm was employed to provide a general solution for the new model problem．A numerical example was presented to illustrate the modeling idea and the effectiveness of the proposed algorithm． KEY WORDS capital budgeting；fuzzy environment；fuzzy goal programming；chance-constrained programming 第9期 黄晓霞： 模糊环境下资金预算的机会约束 NPV 目标规划模型 ·959·
