第四讲(二)无穷级数 第9页 845函数级数 函数级数的收敛性设wk(2)(k=1,2,…)在区域G中有定义.如果对于G中一点20,级 数∑uk(0)收敛,则称级数∑uk(z)在0点收敛 反之,如果∑k(z0)发散,则称级数∑vk(2)在20点发散. 如果级数∑wk(z)在区域G内每一点都收敛,则称级数在G内收敛.其和函数S(z)是G内 的单值函数 函数级数的一致收敛性如果对于任意给定的E>0,存在一个与z无关的N(=),使当n>N() 时,|5()-∑m(l<=,则称级数∑u()在G内一致收敛 函数级数一致收敛的判别法(1)直接运用定义,(2) Weierstrass的M判别法 Weierstrass的M判别法:若在区域G内(2)<ak,ak与2无关,而∑ax收敛,则∑ak() 在G内绝对而且一致收敛 致收敛级数具有下列重要性质 1.连续性如果uk(2)在G内连续,级数∑uk(2)在G内一致收敛,则其和函数S(z) k=1 uk(2)也在G内连续 这个性质告诉我们,如果级数的每一项都是连续函数,则一致收敛级数可以逐项求极限(或者 说,“求极限”与“求级数和”可以交换次序) im∑ux(2)=∑ima(2) k=1 2.逐项求积分设C是区域G内的一条分段光滑曲线,如果uk(2)(k=1,2,…)是C上的连 续函数,则对于C上一致收敛的级数∑uk(z)可以逐项求积分 uk(z)dz ∑/.t(d 3.逐项求导数( Weierstrass定理)设uk(2)(k=1,2,…)在石中单值解析,∑uk(2)在石中 一致收敛,则此级数之和f(z)是G内的解析函数,f(2)的各阶导数可以由∑uk(z)逐项求导数Wu Chong-shi ￾✁✂ (➜) ➝ ➞ P ❖ ✟ 9 ✠ §4.5 ➸ ➺ ⑤ ➺ ÿ❽❾❽✚❿➀✺ ✤ uk(z) (k = 1, 2, · · ·) ❆ ✦✧ G ★ P ◆❉❄ ➀❪♥♦ G ★✻✼ z0 ✰⑦ ✯ P∞ k=1 uk(z0) ➅➆✰✽✩ ⑦✯ P∞ k=1 uk(z) ❆ z0 ✼ ➅➆❄ ❹❺✰➀❪ P∞ k=1 vk(z0) ➈➉✰✽✩ ⑦✯ P∞ k=1 vk(z) ❆ z0 ✼ ➈➉❄ ➀❪⑦✯ P∞ k=1 uk(z) ❆ ✦✧ G ✺ ó ✻ ✼ø➅➆✰✽ ✩ ⑦✯❆ G ✺➅➆❄ ✾ ➊ ✮✯ S(z) ✥ G ✺ ✩ ✪✫✮✯❄ ÿ❽❾❽✚￾✁❿➀✺ ➀❪♥♦➴❒✂◆✩ ε > 0, ✃ ❆ ✻➂❴ z ❜❝✩ N(ε), ✄ ➔ n > N(ε) ❻ ✰    S(z) − Pn k=1 uk(z)    < ε ✰✽✩ ⑦✯ P∞ k=1 uk(z) ❆ G ✺✻➨➅➆❄ ÿ❽❾❽￾✁❿➀✚ ➥➦➧ (1) ☎✆✝✛ ◆❉ ✰ (2) Weierstrass ✩ M ➡ ➥Ü❄ Weierstrass ✩ M ➡ ➥Ü➦➨ ❆ ✦✧ G ✺ |uk(z)| < ak ✰ ak ❴ z ❜❝✰↕ P∞ k=1 ak ➅➆✰✽ P∞ k=1 uk(z) ❆ G ✺➟ ♥↕➧✻➨➅➆❄ ￾✁❿➀❾❽✞✖✟✠✡☛✺í☞ 1. ✌✍✎ ✏✑ uk(z) ✒ G ✓✔✕✖✗✘ P∞ k=1 uk(z) ✒ G ✓✙✚✛✜✖✢✣✤✥✘ S(z) = P∞ k=1 uk(z) ✦✒ G ✓✔✕✧ ★✩✪✫✬✭✮✯✖✏✑✗✘✰✱✙✲✳✴✔✕✥✘✖✢✙✚✛✜✗✘✵✶✷✲✸✹✺ (✻✼ ✽ ✖ ✾✸✹✺✿❀ ✾✸✗✘✤✿✵✶❁❂❃❄) ✖ limz→z0 X∞ k=1 uk(z) = X∞ k=1 limz→z0 uk(z). 2. ❅❆❇❈❉ ❊ C ✴❋● G ✓✰✙❍■❏❑▲ ▼◆✖✏✑ uk(z) (k = 1, 2, · · ·) ✴ C ❖✰✔ ✕✥✘✖✢P◗ C ❖✙✚✛✜✰✗✘ P∞ k=1 uk(z) ✵✶✷✲✸❘■ Z C X∞ k=1 uk(z)dz = X∞ k=1 Z C uk(z)dz. 3. ❅❆❇❙❚ (Weierstrass ❯❱) ❊ uk(z) (k = 1, 2, · · ·) ✒ G ❲❳❨❩❬✖ P∞ k=1 uk(z) ✒ G ❲ ✙✚✛✜✖✢❭✗✘❪✤ f(z) ✴ G ✓✰❩❬✥✘✖ f(z) ✰❫❴❵✘✵✶ ❛ P∞ k=1 uk(z) ✷✲✸❵✘