8 3 Optimal approximation 令可见:若取v(x)=T(x ,则wn在[-1,1上有m+1个极 值点{k},也即Pn1(x)=xn-wn(x)关于x在-1,1上有 n+1个交错偏差点{4}。30k 在(-1,上求{x,…,x}使得m()-i(x=x)的 n最小 ‖Pn1(x)-x”取最小值→ minn,l=Tn(x) M,∈I 2′ 2 令{x1…xn}即为T(2 、如季阶多项式的位置,使得P()刚 monic polynomials of degree n 好是y的OUAP?即,使插值余项|Rx X-x 达到极小? (n+1) 令取{x0,…,xn}为Tn+1(x)的n+1个零点,做y的插值多项式 Pn(x),则插值余项的上界可达极小 2"(m1)!Tn (x)的n个零点。 §3 Optimal Approximation ❖ 可见：若取 ，则wn在[ −1 , 1 ]上有 n+1 个极 值点{ tk }，也即Pn−1 (x) = x n − wn (x)关于x n在[ −1 , 1 ]上有 n+1个交错偏差点{ tk } 。 1 2 ( ) ( ) − = n n n T x w x v3.0 OK v 2.1 在[ −1, 1]上求{ x1 , …, xn } 使得 的 ||wn || 最小。 = = − n i wn x x xi 1 ( ) ( ) || −1 ( ) − || 取最小值 n n P x x   − =  ( ) 2 1 min || || 1 w Tn x n n wn n 1 2 1 − = n n = {首项系数为1的 n 阶多项式 /*monic polynomials of degree n */ } ❖ { x1 , …, xn } 即为 如何确定插值节点{ x0 , …, xn }的位置，使得Pn (x) 刚 好是 y 的OUAP ？即，使插值余项 达到极小？ v 2.0 = + − + = n i i n n x x n y R x 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) | ( )|  ❖ 取{ x0 , …, xn } 为Tn+1(x)的n+1个零点，做 y 的插值多项式 Pn (x)，则插值余项的上界可达极小 。 2 (n +1)! M n