定理941(级数的 Cauchy收敛原理)级数∑xn收敛的充分 必要条件是:对任意给定的ε>0,存在正整数N,使得 xn+1+xn2+…,+x ,<E 对一切m>n>N成立。 定理结论还可以叙述为:对任意给定的E>0,存在正整数N,使 得 m+1+xn+2+ x <8 k=1 对一切n>N与一切正整数p成立 取p=1,上式即为|xn1|<,于是就得到级数收敛的必要条 件 limx=0取 p = 1，上式即为｜xn+1｜< ε ，于是就得到级数收敛的必要条 件lim n→∞ xn = 0。 定理 9.4.1（级数的 Cauchy 收敛原理） 级数∑ ∞ n=1 n x 收敛的充分 必要条件是：对任意给定的ε >0，存在正整数 N，使得 ｜xn+1 + xn+2 + … + xm｜= ∑ += m nk k x 1 < ε 对一切 m >n >N 成立。 定理结论还可以叙述为：对任意给定的ε >0，存在正整数 N，使 得 ｜xn+1+ xn+2 + … + xn+p｜= ∑ = + p k kn x 1 < ε 对一切 n >N 与一切正整数 p 成立