高维微分学——隐映照定理 复旦力学谢锡麟 2016年3月15日 1知识要素 1.1 Euclid空间中闭集上的压缩映照定理 定理1.1( Euclid空间中闭集上的压缩映照定理).设映照∫(x) f(c)∈ 满足f(E)cE,且满足压缩性 a∈[0.,1),有d(f(x),f(y)≤ad(x,y),x,y∈E 此处E为闭集。则有 !x,∈E,满足f(x,) E 证明采用构造型证明.任取co∈Rm,x1:=∫(xo),x2:=∫(x1),…,n+1:=∫(an),…, 以下证{xn} ENCE为基本点列.就此,估计 d(an+1, an)=d(f(an+1), f(en))< ad(an, an-1) d(f(xn-1),f(xn-2)≤a2d(xn-1,n-2)≤ ≤ad(m1,ro) 即有d(xn+1,xn)≤a"d(x1,xo),n∈N 以此,可有 )+…+d(xn+1,n) ≤a+p-ld(x1,xo)+…+a"d(x1,o) a+1d(a1, o 故可有{xn}cRm为基本点列.又由E为闭集,有 ∈E. 再由压缩性,易见∫(x)∈6(E).按连续性的 Heine叙述,有 f(cn)→∫(xo)∈E. ①实际f(x)在E上一致连续微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学——隐映照定理 复旦力学 谢锡麟 2016 年 3 月 15 日 1 知识要素 1.1 Euclid 空间中闭集上的压缩映照定理 定理 1.1 (Euclid 空间中闭集上的压缩映照定理). 设映照 f(x) f(x) : R m ⊃ E ∋ x 7→ f(x) ∈ R m 满足 f(E) ⊂ E，且满足压缩性 ∃α ∈ [0, 1), 有d(f(x), f(y)) 6 αd(x, y), ∀x, y ∈ E 此处 E 为闭集。则有 ∃!x∗ ∈ E, 满足f(x∗) = x∗ ∈ E 证明 采用构造型证明. 任取 x0 ∈ R m, x1 := f(x0), x2 := f(x1), · · · , xn+1 := f(xn), · · · ， 以下证 {xn}n∈N ⊂ E 为基本点列. 就此, 估计 d(xn+1, xn) = d(f(xn+1), f(xn)) 6 αd(xn, xn−1) = αd(f(xn−1), f(xn−2)) 6 α 2 d(xn−1, xn−2) 6 · · · 6 α n d(x1, x0) 即有 d(xn+1, xn) 6 α nd(x1, x0), ∀n ∈ N. 以此, 可有 d(xx+p, xn) 6 d(xn+p, xn+p−1) + · · · + d(xn+1, xn) 6 α n+p−1 d(x1, x0) + · · · + α n d(x1, x0) = α n (α p−1 + · · · + α + 1)d(x1, x0) < α n 1 − α d(x1, x0), 故可有 {xn} ⊂ R m 为基本点列. 又由 E 为闭集, 有 xn → x0 ∈ E. 再由压缩性, 易见 f(x) ∈ C (E) ➀. 按连续性的 Heine 叙述, 有 f(xn) → f(x0) ∈ E. ➀ 实际 f(x) 在 E 上一致连续. 1