476 浙江大学学报（工学版） 第48卷 少：为冻结管P、P:与镜像管1一J。单独作用时产 生的热势的叠加，其表达式为 =-·ln(8dlr。V+)- ln(2(d-0(d+)[(d+D2+ =-驶(nn+ln十lnn十ln)- (d-2]}+c (19) (++)+C. (15) a=-婴ln2d-Dd+[d-+ 式中：。和，分别为任意点到冻结管P:及 镜像管J:、J和J。的距离，其表达式分别为 (d+I()+C. n=√x-d0+(y-) (20) 根据之前假定，2根冻结管边缘处的热势相同， -√r+d)+(y-D 即Φ，=Φ1，将两者记为Φ，：由式(19)与式(20)可 n,=√x+d)+(y+ 得9am=ga,将两者记为9a.将式(15)、(16)、(19) =-D++ 和(20)统一用q2表示为 冻土边界条件点（化，d+）的势为 =-2n(m·n·nn%nn·)+C, nA-2nB+C (16) (21) 式中： (22) A1-(+2d)√+4√+2)+4 电=-In(A,B,)+C, B=B·B·Ba·B Pa:-Per -D:--In (A:B:)+C. (23) B-√+d-D+(d- 式中： B,=(6+d-)2+(d+)F A:=8dlro+ B-√6+d+D2+(d+ B.=2(d-1)(d+1)「(d+)2+(d-1)2] B-√a+d+)2+(d- 由式(22)与式(23)可以解得： 2根冻结管边缘上的边界条件点(1一。，d)和 (d一,D处的势和分别为 -装=nA:B/AB万 :=-[n+lh21-w)+ 将得出的g表达式代入式(21)，并利用关系式：虫= ,=:和4e=,最终得出直角绝热边界附 ln√A+(2l-rF+ln√4d+r] 近布置2根冻结管时的稳态温度场（解析解为 a2=0e+ [n√d-l++(d-+ In [(r ln/(d+I-r。)2+(d-l)+ (AA) n√d+1-)+(d++ (24) ln√d-1+)+(d+)厅]+C, 解析解的数值模拟检验 (17) 同样采用ANSYS软件进行热学数值计算来模 Φ=-[lnvd-l-r)+(d-+ 拟假定条件下的温度场分布，与解析解得到的结果进 行对比来检验该解析公式的准确性.以1=Q5m,d= In (d+1-ro(d-D+ 10m,=12m情况为例.冻结管表面温度、冻结管 n√d+1-)+d++ 半径与土体冻结温度的取值与单管问题中相同.由解 ln√d-1-o)+(d+] 析解式(24)得到的温度场分布图见图9：通过冻结管 婴[ln+lh(2d-)+ P:中心沿y轴上的温度场分布与数值模拟对比结果 见图10：通过冻结管卫中心沿y轴上的温度场分布 ln√2d-o)+4F+ln√4r+]+C 与数值模拟对比结果见图11.从图中可以看到解积 (18 解与数值解结果吻合同样较好，解析解正确.此外 由于。相对于d和1来说相对很小，对计算值 与单根冻结管的情况类似，冻土轮喘线与绝热边界 的影响也很小，因此，可将式(17)和式(18)简化为 正交，且随着d和1的增大，绝热边界对温度场产生 1994-2015 China Aeademic Joumal Eleetronic Publishing House.All rights reserved http://www.cnki.ne Φ２ 为冻结管Ｐ１、Ｐ２ 与镜像管Ｊ１～Ｊ６ 单独作用时产 生的热势的叠加，其表达式为 Φ２ ＝－ｑｃ１１ ２π（ｌｎｒ１ ＋ｌｎｒ２ ＋ｌｎｒ３ ＋ｌｎｒ４）－ ｑｃ２１ ２π（ｌｎｒ５ ＋ｌｎｒ６ ＋ｌｎｒ７ ＋ｌｎｒ８）＋Ｃ ． （１５） 式中：ｒ５、ｒ６、ｒ７ 和ｒ８ 分 别 为 任 意 点 到 冻 结 管 Ｐ２ 及 镜像管Ｊ４、Ｊ５ 和Ｊ６ 的距离，其表达式分别为 ｒ５ ＝ （ｘ－ｄ）２ 槡 ＋ （ｙ－ｌ）２ ， ｒ６ ＝ （ｘ＋ｄ）２ 槡 ＋ （ｙ－ｌ）２ ， ｒ７ ＝ （ｘ＋ｄ）２ 槡 ＋ （ｙ＋ｌ）２ ， ｒ８ ＝ （ｘ－ｄ）２ 槡 ＋ （ｙ＋ｌ）２ ． 冻土边界条件点（ｌ，ｄ＋ξ２）的势为 Φ０２ ＝－ｑｃ１１ ２π ｌｎＡ１ －ｑｃ２１ ２π ｌｎＢ１ ＋Ｃ ． （１６） 式中： Ａ１ ＝ξ２（ξ２ ＋２ｄ） ξ ２ 槡２ ＋４ｌ２ （ξ２ ＋２ｄ）２ 槡 ＋４ｌ２ ， Ｂ１ ＝Ｂ１１·Ｂ１２·Ｂ１３·Ｂ１４， Ｂ１１ ＝ （ξ２ ＋ｄ－ｌ）２ 槡 ＋ （ｄ－ｌ）２ ， Ｂ１２ ＝ （ξ２ ＋ｄ－ｌ）２ 槡 ＋ （ｄ＋ｌ）２ ， Ｂ１３ ＝ （ξ２ ＋ｄ＋ｌ）２ 槡 ＋ （ｄ＋ｌ）２ ， Ｂ１４ ＝ （ξ２ ＋ｄ＋ｌ）２ 槡 ＋ （ｄ－ｌ）２ ． ２根冻结管边缘上的边界条 件 点（ｌ－ｒ０，ｄ）和 （ｄ－ｒ０，ｌ）处的势Φｆ１１和Φｆ２１分别为 Φｆ１１ ＝－ｑｃ１１ ２π［ｌｎｒ０ ＋ｌｎ（２ｌ－ｒ０）＋ ｌｎ ４ｄ２ 槡 ＋ （２ｌ－ｒ０）２ ＋ｌｎ ４ｄ２ 槡 ＋ｒ２ ０ ］－ ｑｃ２１ ２π ｌｎ （ｄ－ｌ＋ｒ０）２ ［ 槡 ＋ （ｄ－ｌ）２ ＋ ｌｎ （ｄ＋ｌ－ｒ０）２ 槡 ＋ （ｄ－ｌ）２ ＋ ｌｎ （ｄ＋ｌ－ｒ０）２ 槡 ＋ （ｄ＋ｌ）２ ＋ ｌｎ （ｄ－ｌ＋ｒ０）２ 槡 ＋ （ｄ＋ｌ）２ ］＋Ｃ， （１７） Φｆ２１ ＝－ｑｃ１１ ２π ｌｎ （ｄ－ｌ－ｒ０）２ ［ 槡 ＋ （ｄ－ｌ）２ ＋ ｌｎ （ｄ＋ｌ－ｒ０）２ 槡 ＋ （ｄ－ｌ）２ ＋ ｌｎ （ｄ＋ｌ－ｒ０）２ 槡 ＋ （ｄ＋ｌ）２ ＋ ｌｎ （ｄ－ｌ－ｒ０）２ 槡 ＋ （ｄ＋ｌ）２ ］－ ｑｃ２１ ２π［ｌｎｒ０ ＋ｌｎ（２ｄ－ｒ０）＋ ｌｎ （２ｄ－ｒ０）２ 槡 ＋４ｌ２ ＋ｌｎ ４ｌ２ 槡 ＋ｒ２ ０ ］＋Ｃ． （１８） 由于ｒ０ 相对于ｄ和ｌ来说相对很小，对计算值 的影响也很小，因此，可将式（１７）和式（１８）简化为 Φｆ１１ ＝ －ｑｃ１１ ２π·ｌｎ（８ｄｌｒ０ ｄ２ 槡 ＋ｌ２ ）－ｑｃ２１ ２π· ｌｎ｛２（ｄ－ｌ）（ｄ＋ｌ）［（ｄ＋ｌ）２ ＋ （ｄ－ｌ）２］｝＋Ｃ， （１９） Φｆ２１ ＝ －ｑｃ１１ ２π ｌｎ｛２（ｄ－ｌ）（ｄ＋ｌ）［（ｄ－ｌ）２ ＋ （ｄ＋ｌ）２］｝－ｑｃ２１ ２π ｌｎ（８ｄｌｒ０ ｄ２ 槡 ＋ｌ２ ）＋Ｃ． （２０） 根据之前假定，２根冻结管边缘处的热势相同， 即Φｆ１１＝Φｆ２１，将两者记为Φｆ２；由式（１９）与式（２０）可 得ｑｃ１１＝ｑｃ２１，将两者记为ｑｃ２．将式（１５）、（１６）、（１９） 和（２０）统一用ｑｃ２表示为 Φ２ ＝－ｑｃ２ ２π ｌｎ（ｒ１·ｒ２·ｒ３·ｒ４·ｒ５·ｒ６·ｒ７·ｒ８）＋Ｃ， （２１） Φ０２ ＝－ｑｃ２ ２π ｌｎ（Ａ１Ｂ１）＋Ｃ ， （２２） Φｆ１１ ＝Φｆ２１ ＝Φｆ２ ＝－ｑｃ２ ２π ｌｎ（Ａ２Ｂ２）＋Ｃ ． （２３） 式中： Ａ２ ＝８ｄｌｒ０ ｄ２ 槡 ＋ｌ２ ， Ｂ２ ＝２（ｄ－ｌ）（ｄ＋ｌ）［（ｄ＋ｌ）２ ＋ （ｄ－ｌ）２］． 由式（２２）与式（２３）可以解得： －ｑｃ２ ２π＝ Φｆ２ －Φ０２ ｌｎ（Ａ２Ｂ２／（Ａ１Ｂ１））， 将得出的ｑｃ２表达式代入式（２１），并利用关系式：Φ２＝ ｋθ２、Φ０２＝ｋθ０２和Φｆ２＝ｋθｆ２，最终得出直角绝热边界附 近布置２根冻结管时的稳态温度场θ２ 解析解为 θ２ ＝θ０２ ＋ ｌｎ ［（ｒ１·ｒ２·ｒ３·ｒ４·ｒ５·ｒ６·ｒ７·ｒ８）／（Ａ１Ｂ１）］ ｌｎ［Ａ２Ｂ２／（Ａ１Ｂ１）］ · （θｆ２ －θ０２）． （２４） ４．２ 解析解的数值模拟检验 同样采用 ＡＮＳＹＳ软件进行热学数值计算来模 拟假定条件下的温度场分布，与解析解得到的结果进 行对比来检验该解析公式的准确性．以ｌ＝０．５ｍ，ｄ＝ １．０ｍ，ξ２＝１．２ｍ情况为例．冻结管表面温度、冻结管 半径与土体冻结温度的取值与单管问题中相同．由解 析解式（２４）得到的温度场分布图见图９；通过冻结管 Ｐ１ 中心沿ｙ轴上的温度场分布与数值模拟对比结果 见图１０；通过冻结管Ｐ２ 中心沿ｙ轴上的温度场分布 与数值模拟对比结果见图１１．从图中可以看到解析 解与数值解结果吻合同样较好，解析解正确．此外， 与单根冻结管的情况类似，冻土轮廓线与绝热边界 正交，且随着ｄ和ｌ的增大，绝热边界对温度场产生 ６７４ 浙 江 大 学 学 报 （工学版） 第４８卷