定义2设(X,d)是度量空间,EcX (1)称damE=sup{d(x,y)x,y∈E}是E的直径.称E是有界集,若damE<∞ (2)对于xn,x∈X,称x(依度量d)收敛于x,若 d(xn,x)→0(n→>∞) 记之为lmxn=x或xn→>x 定理1度量空间中序列的极限是惟一的.收敛序列的元素构成有界集 证明若 d(x,x)→0,d(xn,y)→>0,(n→∞) 由三角不等式知道 0≤d(x,y)≤d(xn,x)+d(xn,y)→0,(n→>∞) 故d(x,y)=0,由定义知道x=y.后一结论是明显的 定理2d(x,y)是两个变元的连续函数,即当x→x,y→y时, d(xn,y)→d(x,y) 证明由三角不等式知道, 同样地 d(x,y)-d(x,-)≤d(,y)=d(y,-) 于是 d(x,y)-d(x,)≤d(y,2) (4) 应用(4),则 d( ym)-d(x,y)sd(m, m)-d(m, x)+d( d(x,x)+d(yn,y)→0 故定义 2 设(X , d) 是度量空间， E ⊂ X ． （1）称diamE = sup{d(x, y); x, y∈ E}是 E 的直径．称 E 是有界集，若diamE < ∞ ． （2）对于 n x ， x∈ X ，称 n x （依度量 d ）收敛于 x ，若 d(x , x) → 0(n → ∞) n ． 记之为 x x n n = →∞ lim 或 x x n → ． 定理 1 度量空间中序列的极限是惟一的．收敛序列的元素构成有界集． 证明 若 x x n → ， x y n → ，即 d(x , x) → 0 n ， d(x , y) → 0 n ，(n → ∞) ． 由三角不等式知道 0 ≤ d(x, y) ≤ d(x , x) + d(x , y) → 0 n n ，(n → ∞) ． 故 d(x, y) = 0 ，由定义知道 x = y ．后一结论是明显的． 定理 2 ) d(x, y 是两个变元的连续函数，即当 x x n → ， y y n → 时， d(x , y ) d(x, y) n n → ． 证明 由三角不等式知道， d(x,z) − d(x, y) ≤ d( y,z) ， 同样地 d(x, y) − d(x,z) ≤ d(z, y) = d( y,z)， 于是 d(x, y) − d(x,z) ≤ d( y,z) （4） 应用（4），则 d(x , y ) d(x, y) d(x , y ) d( y , x) d( y , x) d(x, y) n n − ≤ n n − n + n − ≤ d(x , x) + d( y , y) → 0 n n ． 故