证明(1)显然d(x,y)≥0.若d(x,y)=0,则必有x-y=0,即x=y(=12 故 (2)d(x,y)=d(y,x)显然 (3)考虑函数∫()=,,t≥0.由于ω的递增性,对于任意实数a,b,由 +b≤a+b得到 a+b1++b1+l1+{b 所以 d(x,=)= a21+x- 211 x, y d(x,y)+d(,=) 例3空间Ca,b] Ca,b是区间[a,b]上的连续函数全体,对于x,y∈Ca,b],定义 d(x,y)=max x(0)-y(ol (3) 则d是Ca,b]上的度量函数.容易验证 1°d(x,y)≥0.若d(x,y)=0则vt∈[a,b,x()=y(),故x=y 2°显然d(x,y)=d(y,x) x()-() ≤max{x()-y()+10)-oW} < maxx(()-y(+maxx(0)-=(0 C[a,b是度量空间证明 （1）显然 d(x, y) ≥ 0 ．若 d(x, y) = 0 ，则必有 − = 0 i i x y ，即 x = y (i =1,2,") i i ， 故 x = y ． （2） d(x, y) = d( y, x) 显然． （3）考虑函数 t t f t + = 1 ( ) ， t ≥ 0 ．由于 f (t) 的递增性，对于任意实数 a ， b ，由 a + b ≤ a + b 得到 b b a a a b a b a b a b + + + ≤ + + + ≤ + + + 1 1 1 1 ， 所以 ∑ ∞ = + − − = 1 2 1 1 ( , ) i i i i i i x z x z d x z ∑ ∞ = + − + − − + − = 1 2 1 1 i i i i i i i i i i x y y z x y y z ∑ ∞ =         + − − + + − − ≤ 1 2 1 1 1 i i i i i i i i i i y z y z x y x y = d(x, y) + d( y,z) ． 例 3 空间C[a,b]． C[a,b]是区间[a,b]上的连续函数全体，对于 x, y∈C[a,b]，定义 d(x, y) max x(t) y(t) a t b = − ≤ ≤ ． （3） 则 d 是C[a,b]上的度量函数．容易验证 1° d(x, y) ≥ 0 ．若 d(x, y) = 0 则∀t ∈[a,b] ， x(t) = y(t) ，故 x = y ． 2°显然 d(x, y) = d( y, x) ． 3° d(x,z) max x(t) z(t) a t b = − ≤ ≤ max{ } x(t) y(t) y(t) z(t) a t b ≤ − + − ≤ ≤ max x(t) y(t) max y(t) z(t) a t b a t b ≤ − + − ≤ ≤ ≤ ≤ ) = d(x, y) + d( y,z ． C[a,b]是度量空间．