au av au av 柯西一黎曼方程 成立等价于 可f 7若∫(=)在上半复平面内解析,试证函数∫(2)在下半复平面内解析 ∫(-)=u(x,y)+iv(x,y)(y>0)解析 a(-y) av au ay dy l(x,y),-v(x,y)在y<0时C一R方程成立,且四个偏导连续 ∫(三)=u(x,y)-iv(x,y)在y<0(下半平面内)时解析 8.证明若v是在D内的共轭调和函数,那么ν在D内的共轭调和函数是 证 v为的共轭调和函数, oul=一 ax av av au) av a(u) -l为v的共轭调和函数)( 2 i )( 2 1 x v y u y v x u ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∴ 柯西—黎曼方程 , y v x u ∂ ∂ = ∂ ∂ x v y u ∂ ∂ −= ∂ ∂ 成立等价于 = 0 ∂ ∂ z f . 7 若 zf )( 在上半复平面内解析，试证函数 zf )( 在下半复平面内解析. 证： Q += yyxvyxuzf > )0 ( ),(i),()( 解析, 0)( )( > −∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ ∴ y y v y v x u , )0( )( < ∂ ∂ − = y y v , 0)( )( > −∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ − y y u y u x v Q , 0)( )( < ∂ −∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ ∴ y x v x v y u , ∴ − yxvyxu ),( ),,( 在 时 y < 0 C—R 方程成立，且四个偏导连续. ∴ −= yxvyxuzf ),(i),()( 在 y < 0 (下半平面内)时解析. 8.证明 若 是 在 内的共轭调和函数，那么 在 内的共轭调和函数是 v u D v D −u . 证： Q 为v u 的共轭调和函数, ∴ y v x u ∂ ∂ = ∂ ∂ ， x v y u ∂ ∂ −= ∂ ∂ , ∴ y u x v ∂ ∂ − = ∂ ∂ )( ， x u y v ∂ ∂ − −= ∂ ∂ )( , ∴ −u 为v 的共轭调和函数