第78讲微分法在几何上的应用 319 第78讲微分湍在几何上的应用 、空间曲线的切线与法平面 设M(x0,y,z)为曲线r上一点,M(x,y,z)为曲线F上与M邻近的点,当M沿着r 趋向于M6时,割线MM的极限位置直线MT就是曲线r在M点的切线通过M点而与 切线垂直的平面称为曲线r在点M处的法平面. (1)曲线r由参数方程x=g(t),y=(t),z=a()给出,在点M(x0,y,z0)处的切 线方程为 y-yo p( y(t0)a/(to)’ 其中{(t0),y(t),a'(t)}是切线的方向向量,称为曲线的切向量,to是对应于曲线上 点M0(xo,yo,z0)的参数值,q(t0),y(to),a(t0)不全为零,若个别为零,则应按直线的对称 式方程的说明来理解.在点M6(x,y,z0)处的法平面方程为 d(lo)( )+y(to)(y-y)+a(t0)(z-z0)=0. (2)曲线C的方程以y=g(x),z=y(x)的形式给出.F在点M(x0,y,z0)处的切线 方程为 在点M0(x0,y,z。)处的法平面方程为 (x-x0)+y(x0)(y-y)+y(x)(x-z0)=0. (3)曲线r的方程以 F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0 的形式给出,该方程组在M0(x0,y0,z。)的某 邻域内确定了一组隐函数y=g(x),z=ψ(x)由隐函数的求导法,得 FF d dxgo d (x)= di=y (x)=fF F. 曲线F在点M(x0,y,z)处的切线方程为 y 曲线在点M6(x,y,z)处的法平面方程为 F FF (x-x0)十 G- G G. G (y-%)+|F,F 之 例1求曲线x=,y=1,x=2在对应于t=1的点处的切线和法平面 解t=1对应的点为M6( 2,4,D,又 x()=(1+t) ,y(t)= ,z'(t)=22