∫k(o.oin)=d(xE) 思考题 1、证明一个线性赋范空间X中的某一点到线性子空间E的最佳 逼近元的全体是E中的凸集 2、即使是闭子空间,一点到它的最佳逼近元也未必存在.例如设 E={x=(xn)∈c∑ 0} 则E在c0中闭,但x=(2,0,…)这一点关于E没有最佳逼近元.此例 也说明定理2关于无穷维子空间不成立 有了最佳逼近元的存在性和判别准则,自然会考虑到唯一性问题 为此我们需要一个新的概念 定义2线性赋范空间X称为是严格凸的,若Vx,y∈X,当 1时 x+y∠1 (4) 从几何上说,严格凸空间单位球面上任意两点的中点不在球面上 严格凸是逼近论中的一个基本概念,我们先给出严格凸空间的例子 例4空间L[ab](1<P<∞)是严格凸的 若存在g∈D[小,==1,并且2=1,即4 () () ( ) 1 2 2 0 0 2 1 , 2 n x x x t x t dt d x E π π −π   −= − =     ∫ . (3) 思考题 1、 证明一个线性赋范空间 X 中的某一点到线性子空间 E 的最佳 逼近元的全体是 E 中的凸集. 2、 即使是闭子空间，一点到它的最佳逼近元也未必存在. 例如设 0 1 { ( ) ; 2 0}, n n n n Exx c x ∞ − = == ∈ = ∑ 则 E 在 0 c 中闭，但 0 x = (2,0, ) " 这一点关于 E 没有最佳逼近元. 此例 也说明定理 2 关于无穷维子空间不成立. 有了最佳逼近元的存在性和判别准则，自然会考虑到唯一性问题. 为此我们需要一个新的概念. 定义 2 线性赋范空间 X 称为是严格凸的，若 ∀x, y X ∈ ，当 x ≠ y ， x y = =1时 1 2 x y + ＜ . (4) 从几何上说，严格凸空间单位球面上任意两点的中点不在球面上， 严格凸是逼近论中的一个基本概念，我们先给出严格凸空间的例子. 例 4 空间 [ , ] p L a b ( ) 1＜ ＜p ∞ 是严格凸的. 若存在 , , [ ] p f g L ab ∈ ， 1 p p f g = = ，并且 1 2 p f g + = ，即