f(x)=d,并且∫(x)=0,Vx∈E 定理1实际上是最佳逼近元的判定定理.下面定理可以看成最佳 逼近元的存在定理 定理2设X是线性赋范空间,EcX是有限维子空间,则对于 每个x∈X,x关于E的最佳逼近元存在 证明任取y∈E,考虑集合 F={=∈E|x-|s|x-y} 容易验证F是E中的有界闭集,是E有限维的,从而是紧集并且 d(x,F)=d(x,E)取,∈F使得|x--川→d(x,F),此时存在子列 ∈F,于是 Ix-Fol=limx-==d(x, F)=d(r,E 二0即是x关于E的最佳逼近元 例2对于实空间C[a小,由{2…r}张成的线性子空间记 为En,En是有限维的,从而是闭的由定理2,Vx∈C[ab],x到En 的最佳逼近元存在.即至少存在一组实数a,…,an,使得 x0()=a0+a1+……+a"满足 Ix-xol= sup x()-xo()=d(x,En 例3对于复空间L[-x,x,若E是由{e";-n≤k≤n张成的 线性子空间,则x∈L[-x,z],存在复数c,-n≤k≤n使得 ce满足3 ( ) 0 f x d = ，并且 f x( ) = 0 ， ∀x∈ E . 定理 1 实际上是最佳逼近元的判定定理. 下面定理可以看成最佳 逼近元的存在定理. 定理 2 设 X 是线性赋范空间， E X ⊂ 是有限维子空间，则对于 每个 x∈ X ， x 关于 E 的最佳逼近元存在. 证 明 任取 0 y E ∈ ，考虑集合 F z Ex z x y =∈ −≤− { ; 0 } . 容易验证 F 是 E 中的有界闭集，是 E 有限维的，从而是紧集并且 d xF d xE ()() , , = . 取 n z F ∈ 使得 x − → z d xF n ( , ) ，此时存在子列 0 k n z zF → ∈ ，于是 0 lim , , n ( ) ( ) n x z x z d xF d xE →∞ −= −= = . 0 z 即是 x 关于 E 的最佳逼近元. 例 2 对于实空间 C ab [ , ] ，由 {1, , , } n t t "" 张成的线性子空间记 为 En ，En 是有限维的，从而是闭的. 由定理 2，∀ ∈x C ab [ , ] ，x 到 En 的最佳逼近元存在 . 即至少存在一组实数 0 , , n a a "" ，使得 0 01 ( ) n n x t a at at =+ + + "" 满足 [ ] 0 0 ( ) ( ) ( ) , sup , n t ab x x xt x t d xE ∈ −= − = . (2) 例 3 对于复空间 [ ] 2 L −π ,π ，若 En 是由 { ; } ikt e nkn − ≤ ≤ 张成的 线性子空间，则 [ ] 2 ∀∈ − x L π ,π ，存在复数 k c ， −nkn ≤ ≤ 使 得 0 n ikt k k n x c e =− = ∑ 满足