, ∫(x)smd∫(xmxs∫”(x 反小(x)sma」(km≤∫2x)<+a 这时我们不知道 Fourier级数是否收敛,更不知道它是否收敛到f(x).如果我们假设它收敛, 即(5)式成立,且可逐项积分(一致收敛可保证这一点),则我们有 f(x)dx=2ao +>an cos nxdx+b, sin ndx 容易看出 cos ndx= n ∫如n=2L 因而ao= 丌·- 类似地 f∫(x) cos mdx=ac dx+ coS x cos m sin nx cos x 右端第一项等于零,且不论n,m如何,有 sin nx cos mxdrs./ 2n+m)x+如-m)k=0 而当n≠m时 cosnx cos max= 1∫2on+m×+-mk=0 最后当n=m时有 cos- mdx= Lr:I+cos2mx 这样我们得到 f(x)cos mxdx, m=1, 2, 3 同样我们可得到 ∫f(x) sin mdx, m=123 1.3正交函数系 定义2:区间[ab]上函数系{n(x),如果满足144 ( ) . 1 ( ) sin 1 ( )sin 1 ( ) , 1 ( ) cos 1 ( )cos 1 ( ) , 2 1 ( ) 2 1 ò ò ò ò ò ò ò ò - - - - - - - - £ £ < +¥ £ £ < +¥ £ < +¥ p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p f x mxdx f x mxdx f x dx f x mxdx f x mx dx f x dx f x dx f x dx 这时我们不知道Fourier 级数是否收敛, 更不知道它是否收敛到 f (x) . 如果我们假设它收敛, 即（5）式成立, 且可逐项积分（一致收敛可保证这一点）, 则我们有 ò å ò ò +¥ = - - - úû ù êë é = + + 1 ( ) 2 0 cos sin n f x dx a an nxdx bn nxdx p p p p p p p . 容易看出 0, cos sin 0, sin cos = - = - = - = ò ò - - p p p p p p p p n nx nxdx n nx nxdx 因而 ò - = p p p a f (x)dx 2 1 0 . 类似地, ( )cos cos cos cos sin cos . 1 ò 0 ò å ò ò +¥ = - - - - úû ù êë é = + + n f x mxdx a mxdx an nx mxdx bn nx mxdx p p p p p p p p 右端第一项等于零, 且不论n,m 如何, 有 [sin( ) sin( ) ] 0 2 1 sin cos = + + - = ò - ò - p p p p nx mxdx n m x n m x dx , 而当n ¹ m 时 [cos( ) cos( ) ] 0 2 1 cos cos = + + - = ò - ò - p p p p nx mxdx n m x n m x dx , 最后当n = m时有 p p p p p = + = ò - ò- dx mx mxdx 2 1 cos2 2 1 cos 2 . 这样我们得到 ( ) cos , 1,2,3,L 1 = = ò - am f x mxdx m p p p , 同样我们可得到 ( )sin , 1,2,3,L 1 = = ò - bm f x mxdx m p p p . 1.3 正交函数系 定义 2：区间[a, b]上函数系{jn (x)}, 如果满足