lo,(x 'dx (2)」qn(x)Dn(x)x=0,n≠m (3)「q2(x)d=n>0, 则称{n(x)}为正交函数系,进而如果λn=1,称之为规范正交函数系 如果{n(x)是一正交函数系则9,(x)}就是一规范正交函数系了 例1:cosx,six,cos2xsn2x… cosnx,sinx…}就是[-兀,]上一正交函数系,由此 可得一规范正交函数系1 cos x sin x cOs2xsin2x.. coS nx sin nx r’√r 例2:. cos x cos2x… coS nx…)或者 sin x, sin2x,…, sin nx…}是D.x]上的正交函数 系,由此可得规范正交函数系 cos nx sin x sin 2x 或 COS Tx COS 2Tx 例3 1-,…}或者/ sin m sin2x COS nTX in n7 -,…}是区间 [O,]上的正交系 例4 re多项式 x0(x)=1,Xn( 2kx2-1n]n=123 nl dx" 是区间[11上的正交系,这时 ∫x(xMd 例5:Har系.定义Har函数 1,0 1,≤x≤1 考虑二进伸缩和整点平移 145145 （1） < +¥ ò b a n x dx 2 j ( ) , （2） x x dx n m b a n m = ¹ ò j ( )j ( ) 0, , （3） ( ) 0 2 = > ò n b a n j x dx l , 则称{jn (x)}为正交函数系, 进而如果ln = 1, 称之为规范正交函数系. 如果{jn (x)}是一正交函数系, 则 ïþ ï ý ü ïî ï í ì ( ) 1 x n n j l 就是一规范正交函数系了. 例 1：{1, cos x,sin x, cos 2x,sin 2x,L, cosnx,sin nx,L}就是[-p ,p ]上一正交函数系, 由此 可得一规范正交函数系 þ ý ü î í ì L ,L sin , cos , , sin 2 , cos2 , sin , cos , 2 1 p p p p p p p x x x x nx nx . 例 2：{1, cos x, cos 2x,L, cosnx,L}或者{sin x,sin 2x,L,sin nx,L}是[0,p ]上的正交函数 系, 由此可得规范正交函数系 þ ý ü î í ì L ,L cos , , cos2 , cos , 2 1 p p p p x x nx 或 þ ý ü î í ì L ,L sin , , sin 2 , sin p p p x x nx . 例 3： þ ý ü î í ì L ,L cos , , cos2 , cos 1, l n x l x l px p p 或者 þ ý ü î í ì L ,L sin , , sin 2 , sin l n x l x l px p p 是区间 [0,l]上的正交系. 例 4：Legendre 多项式 [( 1) ], 1,2,3,L 2 ! 1 ( ) 1, ( ) 2 0 = = x - n = dx d n X x X x n n n n n 是区间[-1,1]上的正交系, 这时 ò - + = = 1 1 2 2 1 2 ( ) n X x dx ln n . 例 5：Haar 系. 定义 Haar 函数 ï î ï í ì £ £ - £ < = 1. 2 1 1, , 2 1 1, 0 ( ) x x y x 考虑二进伸缩和整点平移 ÷ ø ö ç è æ - = - k j i x k x j 2 ( ) 2 2 y , y