则A(x是(-+∞)上规范正交函数系 定义3:对于区间[ab上正交函数系和,()和函数f(x)1(x在<+,级数 cnn(x)其中cn f(xp, (x)dx 称为函数f(x)关于正交函数系{n(x)的(广义) Fourier级数,cn为(广义) Fourier系数 记为 f(x)~∑cnpn(x) 如果∫(x)=∑cn(x)致收敛,就可逐项积分,我们有 °f(x)on(x P2(x)dx=a 当{n(x)是规范正交函数系时 Cnp, 其中cn=f(x)n(x)d 如果f(x)=∑CnPn(x)一致收敛,我们还可得到 ∫1r(x)a=∑c∫9x)d+ccnJ,x)9(x 这可以看成勾股定理向无穷维的推广勾股定理 几何上可以看成二维向量c=(a,b),向量长度的平方等于分量平方和.在n维空间 x=(a12…,an),也有 146146 则{ } i k j kÎZ x , , y ( ) 是(-¥,+¥) 上规范正交函数系. 定义 3：对于区间[a, b]上正交函数系{jn (x)}和函数 < +¥ ò b a f x f x dx 2 ( ) : ( ) , 级数 å +¥ =0 ( ) n cnjn x 其中 ò = b a n n n c f (x) (x)dx 1 j l 称为函数 f (x) 关于正交函数系{jn (x)}的（广义）Fourier 级数, n c 为（广义）Fourier 系数, 记为 å +¥ =0 ( ) ~ ( ) n f x cnjn x . 如果 å +¥ = = 0 ( ) ( ) n f x cnj n x 一致收敛, 就可逐项积分, 我们有 m b a m m m b a m m f x x dx = a x dx = a ò ò ( ) 1 ( ) ( ) , 1 2 j l j l . 当{jn (x)}是规范正交函数系时, å +¥ =0 ( ) ~ ( ) n f x cnjn x , 其中 ò = b a n n c f (x)j (x)dx . 如果 å +¥ = = 0 ( ) ( ) n f x cnj n x 一致收敛, 我们还可得到 å ò å ò å ò +¥ = ¹ +¥ = = = + 0 2 0 2 2 2 . ( ) ( ) ( ) ( ) n n m n b a n m n m n b a n n b a c f x dx c j x dx c c j x j x dx 这可以看成勾股定理向无穷维的推广. 勾股定理 2 2 2 c = a + b 几何上可以看成二维向量 c = (a,b) , 向量长度的平方等于分量平方和. 在 n 维空间 ( , , ) a1 an x = L , 也有 å= = n i x ai 1 2 2