用L[a,b]表示区间[a,b]上所有平方可积函数的空间,其中用 <f,8>=f/(x)g(x)d 定义内积,它成为一个内积空间.如果{n}是一个完备的规范正交函数系,则对任何 f(x)∈L[a,b],有 f(x)-2cnon(x),c,=<f,o,> 且有 =∫1(x)d=∑c 这就是无穷维的勾股定理,即无穷维向量∫(x)长度的平方等于分量平方和.这时级数 cn(x)在Lab范数下收敛到函数f(x).有几个概念目前还没讲清楚:何谓完备的 规范正交函数系;何谓L[ab范数收敛:还有L[a,b]在 Riemann积分意义也不完备,其 完备化需要 Lebesgue积分概念,这些学完实变函数论和泛函分析课程后可以解决.不过这 个观点对理解 Fourier级数还是非常有用的 §8.2 Fourier级数的例子 上节定义指出只要/(x)是27周期(广义)绝对可积的函数∫。(x)<+,就 有 Fourier级数展开式 f(x)-a0+2(an cosnx+b, sin nx) 现在我们计算一些例子 例1:在区间[-丌,]内展开函数 f(x)=e"(a≠0常数) sha丌 a兀 e cos ndx= I acos nx+nsin nx 147147 用 [ , ] 2 L a b 表示区间[a, b]上所有平方可积函数的空间, 其中用 ò < >= b a f , g f (x)g(x)dx 定义内积, 它成为一个内积空间. 如果 {jn }是一个完备的规范正交函数系, 则对任何 ( ) [ , ] 2 f x Î L a b , 有 å =< > +¥ = n n n n n f (x) ~ c j (x), c f ,j 0 , 且有 ò å +¥ = = = 0 2 2 2 ( ) n n b a f f x dx c . 这就是无穷维的勾股定理, 即无穷维向量 f (x) 长度的平方等于分量平方和. 这时级数 å +¥ =0 ( ) n cnjn x 在 [ , ] 2 L a b 范数下收敛到函数 f (x) . 有几个概念目前还没讲清楚：何谓完备的 规范正交函数系；何谓 [ , ] 2 L a b 范数收敛；还有 [ , ] 2 L a b 在 Riemann 积分意义也不完备, 其 完备化需要 Lebesgue 积分概念, 这些学完实变函数论和泛函分析课程后可以解决. 不过这 个观点对理解 Fourier 级数还是非常有用的. §8.2 Fourier级数的例子 上节定义指出只要 f (x) 是2p 周期（广义）绝对可积的函数, ò < +¥ 2p 0 f (x) dx , 就 有 Fourier 级数展开式 å +¥ = + + 1 0 ( ) ~ ( cos sin ) n f x a an nx bn nx . 现在我们计算一些例子. 例 1：在区间[-p ,p ]内展开函数 f (x) = e (a ¹ 0常数) ax . 解： p p p p p p p p a a a e e a e dx a a ax sh 2 1 0 = - = = - ò - , p p p p p p p p a a n a e a n a nx n nx a e nxdx n ax ax n sh 1 cos sin ( 1) 2 cos 1 2 2 2 2 + - = + - + = = ò -