l asin nx -ncos nx 21 e" sin nxdx T 丌a-+n e"ashat 7124 2d-1 -laosmx-nsin 例2:在区间[0,2x)内展开函数 解:an= 2r丌-x dx TxX--x 0 2 20 lr2x丌-x sin nx pT 1r2 - cos ndx=x(丌-x) sin nxdx=0 02n丌 1r2x丌-x coS nx 2 bn sin nxd T -x cos ndx n n 以下是一些常用2丌周期函数的 Fourier级数展开式: (3)f(x)= 1,0≤x<丌 n(2k+1)x 2k+1 (4)∫(x)如图 8 f(x)+-2lsin x-o2sin 3x+= sin 5x- (5)f(x)如图: f(x)-5+- cos x+acos 3x+=cos 5x+ (6)f(x)=|snx,x∈D.2) f(x)~ COS 2x cos 4x- 丌(21.3 cos 6x148 p p p p p p p p a a n n e a n a nx n nx b e nxdx n ax ax n sh 1 sin cos ( 1) 2 sin 1 2 2 1 2 2 + - = + - - = = - ò - , [ ] þ ý ü î í ì - + - \ +å +¥ =1 2 2 cos sin ( 1) 2 1 sh 2 ~ n n ax a nx n nx a a n e ap p . 例 2：在区间[0,2p ) 内展开函数 2 ( ) x f x - = p . 解： 0 0 2 2 1 2 1 2 1 2 2 0 0 ÷ = ø ö ç è æ = - - = ò p p p p p p dx x x x a , sin 0 2 1 0 sin 2 ( ) 2 1 cos 2 1 2 0 2 0 = - - = - = ò ò p p p p p p p p nxdx n n nx nxdx x x an , n nxdx n n nx nxdx x x bn 1 cos 2 1 0 cos 2 ( ) 2 1 sin 2 1 2 0 2 0 = - - - = - = ò ò p p p p p p p p , å +¥ = - \ 1 sin ~ 2 n n p x nx . 以下是一些常用2p 周期函数的 Fourier 级数展开式： （3） î í ì - £ < £ < = 1, 2 . 1, 0 , ( ) p p p x x f x å +¥ = + + 1 2 1 sin( 2 1) ( ) ~ k k k x f x . (4) f (x) 如图： ÷ ø ö ç è æ f x x - x + sin 5x -L 5 1 sin 3 3 1 sin 8 ( ) ~ 2 2 2 p . （5） f (x) 如图： ÷ ø ö ç è æ f x + x + x + cos5x +L 5 1 cos3 3 1 cos 4 2 1 ( ) ~ 2 2 2 p . （6） f (x) = sin x , x Î[0,2p ). ÷ ø ö ç è æ - × - × - × f x - x x cos6x L 5 7 1 cos 4 3 5 1 cos2 1 3 1 2 4 1 ( ) ~ p