(7)f(x)=x,x∈[0,2r) cOS nx f(x)~ sIn nx n (8)∫(x)= 1,0≤x<丌 f(x) 由奇偶函数的性质可得它们的 Fourier系数有如下特点: 1°若周期2x可积函数f(x)是奇函数,则 r U f(r)cosnxdx=0, n=0.1,2, 即f(x)-∑ b sin nx,奇函数 Fourier级数只含正弦项 2°若周期2丌可积函数f(x)是偶函数,则 f(x)sin ndx=0, n=1, 2, 3, 即∫(x)~ao+∑ a cos nx,偶函数 Fourier级数只含余弦项(包括常数项) 例子2,3,4,8为奇函数,其 Fourier级数只含正弦项;例子5,6为偶函数,其 Fourier级数只 含余弦项 用 Mathematica软件可以直观地看出 Fourier级数部分和收敛的性质.如 Plot[Sin(x]+1/3 Sin[3x],ix,Pi, Pi) Plot[Sin(x]+1/3 Sin[3x+1/5 Sin[5x],ix, -Pi, Pi] Plot[sinx+1/3 Sin [3x+1/5 Sin 5x]+1/7 Sin[7x],ix, -Pi, Pi; §8.3 Fourier级数的收敛性 3.1 Fourier级数的部分和 设∫(x)在[一丌,丌]上绝对可积,那么它有 Fourier级数 ∫(x)~当, +∑(a4 cos kx+ bk sin kx) 为了考察 Fourier级数的收敛性,我们先考察它的部分和 149149 （7） ( ) , [0,2 ) 2 f x = x x Î p . å å +¥ = +¥ = + - 1 1 2 2 sin 4 cos 4 3 4 ( ) ~ n n n nx n nx f x p p . （8） î í ì £ < - - £ < = 1, 0 . 1, 0, ( ) p p x x f x ÷ ø ö ç è æ + + +L 5 sin 5 3 sin 3 sin 4 ( ) ~ x x f x x p . 由奇偶函数的性质可得它们的 Fourier 系数有如下特点： 1º若周期2p 可积函数 f (x) 是奇函数, 则 ( ) cos 0, 0,1,2,L 1 = = = ò - a f x nxdx n n p p p . 即 å +¥ =1 ( ) ~ sin n f x bn nx , 奇函数 Fourier 级数只含正弦项. 2º若周期2p 可积函数 f (x) 是偶函数, 则 ( )sin 0, 1,2,3,L 1 = = = ò - b f x nxdx n n p p p . 即 å +¥ = + 1 ( ) ~ 0 cos n f x a an nx , 偶函数 Fourier 级数只含余弦项（包括常数项）. 例子 2, 3, 4, 8为奇函数, 其 Fourier 级数只含正弦项；例子 5, 6 为偶函数, 其 Fourier 级数只 含余弦项. 用 Mathematica 软件可以直观地看出 Fourier 级数部分和收敛的性质. 如 Plot[Sin[x]+1/3 Sin[3x], {x,-Pi,Pi}] Plot[Sin[x]+1/3 Sin[3x]+1/5 Sin[5x], {x,-Pi,Pi}] Plot[Sin[x]+1/3 Sin[3x]+1/5 Sin[5x]+1/7 Sin[7x], {x,-Pi,Pi}] … §8.3 Fourier级数的收敛性 3.1 Fourier 级数的部分和 设 f (x) 在[-p ,p ]上绝对可积, 那么它有 Fourier 级数 å +¥ = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) ~ k ak kx bk kx a f x . 为了考察 Fourier 级数的收敛性, 我们先考察它的部分和