第七章定积分 定理:设∫∈C[A,B](连续),如果函数x=l(0)满足下列条件: (1)()在[a,月上连续可导,且(a,<[ab<[AB; (2)l(a)=a,u(B)=b 则|f(x)dx=f(u()a()dt 由于保证了两边被积函数的连续性,因而直接利用N-L公式即可证 明 定理:设∫∈R[a,b](可积),如果函数x=l(m)满足下列条件 (1)a(1)在[a,月上连续可导,且单调 (2)(a)=a,u(B) Ju f(x)dx=l f(u()u (r)dr 这个证稍麻烦,要把两边化成积分和,对Δx1=l(1)-(1-)用有限增量 公式来证明,有兴趣者可尝试之 例1,证明:若∫∈C0,则x/( f(sin xk 证:令x=丌-1,d xf lsn x lax n)f(sin d 丌/(int)d-「/m) x/(inx)x=「π/int)dt OSx 求 dx d x 例2:若∫∈C[A,B],[a,bc[A,B求极限 f(x+h)-f(x) 第七章定积分第七章 定积分 第七章 定积分 定理：设 f C[A, B] (连续), 如果函数 x = u(t) 满足下列条件： (1) u(t) 在 [, ] 上连续可导, 且 u([,]) [a,b] [A,B] ; (2) u() = a, u() = b ; 则   =    f x dx f u t u t dt b a ( ) ( ( )) ( ) . 由于保证了两边被积函数的连续性，因而直接利用 N--L 公式即可证 明。 定理：设 f  R[a,b] (可积), 如果函数 x = u(t) 满足下列条件： (1) u(t) 在 [, ] 上连续可导, 且单调 ; (2) u() = a, u() = b ; 则   =    f x dx f u t u t dt b a ( ) ( ( )) ( ) . 这个证稍麻烦，要把两边化成积分和, 对 ( ) ( )  i = i − i−1 x u t u t 用有限增量 公式来证明，有兴趣者可尝试之。 例 1, 证明 : 若 f C[0,1], 则 ( ) ( )      = 0 0 sin 2 xf sin x dx f x dx . 证：令 x =  − t , dx = −dt , ( ) ( ) ( )( )     =  − − 0 0 xf sin x dx t f sin t dt = = ( ) ( )      − 0 0 f sin t dt t f sin t dt  ( ) ( )     =  0 0 2 x f sin x dx f sin t dt . 求: ( )       +  = − +  = + 0 2 0 2 0 2 1 cos cos 1 cos 2 sin 1 cos 2 sin x d x dx x x dx x x x = ( ) 4 cos 2 2 0  =  − = = x x arctg x 例 2: 若 f C[A, B], [a,b]  [A, B] 求极限  + − → b h a dx h f (x h) f (x) lim 0