筛去的合数。所以π(n,r)>j+1 当π(n)≤r时，π(n,r)=1。这个结论很好理解，从自然数列1、2、3…n中依 次筛去全部素数及其倍数，最后只剩下自然数1还没有筛去。所以π(n,r)=1 例如：计算π(20，r) 解：π(20)=8，m=πV20)=2 当r=0时，π(20，r）=20。这个结论很好理解，从自然数列1、2、3…20中不 筛去任何数，所以π(20，r)=20 当0<r=1<m时，π(20，)=20 [9 =10>j+1=6+1.这个结论可以这样理解， 从自然数列1、2、3…20中依次筛去素数2及其倍数，但是不到m个素数， 也就是自然数列1、2、3…20中还有合数没有筛去，最后剩下自然数1和后部 素数还没有筛去的合数。所以π(20,1)=20- 20 =10>j+1=6+1 当r=m=2时，π(20,2)=20 20 =7=j+1。这个结论很好理 解，从自然数列1、2、3…20中依次筛去前部素数及其倍数，最后只剩下自然 数1和后部素数。所以 π(20,2)=20 [引[-[兴-7=+1/=6说后的个 当m<r=4<π(20)时，π(20,4)=π(20)+1-4=5<j+1。这个结论很好理解，从 自然数列1、2、3…20中依次筛去素数2、3、5、7及其倍数，但是超过了m 个素数，也就是自然数列1、2、3…20中除了筛去了全部合数外，还筛去素数 5,7,最后剩下自然数1和后部素数中的一部分素数。所以 π(20,4)=π(20)+1-4=5<j+1 当π(20)≤r时，π(20，r）=1。这个结论很好理解，从自然数列1、2、3…20 中依次筛去全部素数及其倍数，最后只剩下自然数1还没有筛去。所以 π(20，r）=1 筛法函数有一个很好的性质，那就是递推性。下面我们就研究一下这个函数 的递推性。由公式筛去的合数。所以π ( ) nr j , 1 > + 当π ( ) n r ≤ 时，π (n r, 1 ) = 。这个结论很好理解，从自然数列 1、2、3……n 中依 次筛去全部素数及其倍数，最后只剩下自然数 1 还没有筛去。所以π ( ) n r, 1 = 例如：计算π ( ) 20,r 解：π ( ) 20 8 = ，m = = π ( ) 20 2 当r = 0时，π ( ) 20, 20 r = 。这个结论很好理解，从自然数列 1、2、3……20 中不 筛去任何数，所以π ( ) 20, 20 r = 当0 1 < =< r m时， ( ) 20 20,1 20 10 1 6 1 2 π j ⎡ ⎤ = − = > += + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 。这个结论可以这样理解， 从自然数列 1、2、3……20 中依次筛去素数 2 及其倍数，但是不到 m 个素数， 也就是自然数列 1、2、3……20 中还有合数没有筛去，最后剩下自然数 1 和后部 素数还没有筛去的合数。所以 ( ) 20 20,1 20 10 1 6 1 2 π j ⎡ ⎤ = − = > += + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 当r m= = 2 时， ( ) 20 20 20 20,2 20 7 1 2 3 23 π j ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ = − − + ==+ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ × 。这个结论很好理 解，从自然数列 1、2、3……20 中依次筛去前部素数及其倍数，最后只剩下自然 数 1 和后部素数。所以 ( ) 20 20 20 20,2 20 7 1, 6 2 3 23 π j j ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ = − − + ==+ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ × 是后部素数的个数。 当m r < < =4 20 π ( ) 时，π π ( ) 20, 4 = 20 +1 4 5 1 ( ) − =<+j 。这个结论很好理解，从 自然数列 1、2、3……20 中依次筛去素数 2、3、5、7 及其倍数，但是超过了 m 个素数，也就是自然数列 1、2、3……20 中除了筛去了全部合数外，还筛去素数 5 ， 7 ，最后剩下自然数 1 和后部素数中的一部分素数。所以 π π ( ) () 20, 4 = 20 +1 4 5 1 −=<+j 当π ( ) 20 ≤ r 时，π ( ) 20, 1 r = 。这个结论很好理解，从自然数列 1、2、3……20 中依次筛去全部素数及其倍数，最后只剩下自然数 1 还没有筛去。所以 π ( ) 20, 1 r = 筛法函数有一个很好的性质，那就是递推性。下面我们就研究一下这个函数 的递推性。由公式