5.设A是一个mxn矩阵,B是一个sxm矩阵,证明:如果rank(A)=rank(BA),则齐次线 性方程组AX=0与齐次线性方程组BAX=0同解 证显然AX=0的解必是BAX=0的解,记AX=0的解空间为W,BAX=0的解空间为V,则WsV 又因为rank(A)=rank(BA),所以dim(W)=dim(V).总之有W=V,即齐次线性方程组AX=0与 齐次线性方程组BAX=0同解 6.设A是一个nxn矩阵,证明:如果rank(A=n,则rank(A)=n:如果rank(A)=n-1,则 rank(A")=1:如果rank(A)<n-1,则rank(A)=0.其中A是A的伴随矩阵 证①如果rank(A)=n,则|A却0,因为AA'=|A|E,两边取行列式知|A'0,所以 rank(A)=n ②如果rank(A)=n-1,则|A|=0,从而AA=|A|E=0,又线性方程组AX=0的解空间的维数为1, 而A的每一列都是AX=0的解,所以rank(A)≤1.另一方面,由rank(A)=n-1知,A最少有 个n-1阶子式不为0,即A中最少有一个元素不为0,即有rank(A)≥1.总之,rank(A")=1 ③如果rank(A)<n-1,则A的所有n-1阶子式全为0,从而A=0,故rank(A)=0 7.解下列线性方程组(如果有无穷多解时,要求求出导出线性方程组的一个基础解系,并且 用导出线性方程组的一个基础解系表示原方程组的所有解) x1+2x2+3x3+4x4=5 x1-x2+x3+x4=1 x1+2x2+3x3+4x4=5 x,1+4 x4= x1-2x2+3x3+2x4=8 x1-2x,-9x3-5 解①线性方程组的增广矩阵 234 非齐次线性方程组的一个特解为”=/43 0 对应的导出组的系数矩阵为 个基础解系为 5/3 -2/3 0 非齐次方程组的任意解可表示为X=c12+c2+n,c,c2为任意实数5. 设 A 是一个 m×n 矩阵，B 是一个 s×m 矩阵, 证明：如果 rank(A)= rank(BA)，则齐次线 性方程组 AX=0 与齐次线性方程组 BAX=0 同解． 证 显然 AX=0 的解必是 BAX=0 的解，记 AX=0 的解空间为 W，BAX=0 的解空间为 V，则 W⊆V． 又因为 rank(A)=rank(BA)，所以 dim(W)=dim(V)．总之有 W=V，即齐次线性方程组 AX=0 与 齐次线性方程组 BAX=0 同解． 6. 设 A 是一个 n×n 矩阵，证明：如果 rank(A)=n,则 rank(A *)=n；如果 rank(A)=n-1,则 rank(A *)=1；如果 rank(A)<n-1,则 rank(A *)=0.其中 A *是 A 的伴随矩阵. 证 ① 如 果 rank(A)=n,则 |A|≠0 ， 因 为 AA *=|A|En, 两 边 取 行 列 式 知 |A *|≠0 ， 所 以 rank(A *)=n． ②如果 rank(A)=n-1,则|A|=0，从而 AA *=|A|En=0，又线性方程组 AX=0 的解空间的维数为 1， 而 A *的每一列都是 AX=0 的解，所以 rank(A *)≤1．另一方面，由 rank(A)=n-1 知, A 最少有 一个 n-1 阶子式不为 0，即 A *中最少有一个元素不为 0，即有 rank(A *)≥1．总之，rank(A *)=1． ③ 如果 rank(A)<n-1,则 A 的所有 n-1 阶子式全为 0，从而 A *=0，故 rank(A *)=0. 7.解下列线性方程组（如果有无穷多解时，要求求出导出线性方程组的一个基础解系，并且 用导出线性方程组的一个基础解系表示原方程组的所有解）． ①            1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x ②                        2 9 5 21 2 3 2 8 2 4 3 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x 解 ①线性方程组的增广矩阵       1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 ~       0  3  2  3  4 1 2 3 4 5 非齐次线性方程组的一个特解为        0 0 4 / 3 7 / 3  ， 对应的导出组的系数矩阵为       0  3  2  3 1 2 3 4 ，一个基础解系为         0 1 2 / 3 5 / 3  1 ，          1 0 1 2  2 非齐次方程组的任意解可表示为 X=c1ξ1+ c2ξ2+η，c1，c2为任意实数．