因此 例3计算摆线的一拱 ∫x=a(-sin ly=a(-cost 以及y=0所围成的平面图形绕y轴旋转而生成的立体的体积 x L a2(t-sint).asin dt-I[a2(t 三.平面曲线的弧长 1.直角坐标情形 设函数f(x)在区间La上具有一阶连续的导数 计算曲线y=f(x)的长度S y·f(x) 取x为积分变量,则 x.x+dx 那么这一小区间所对应的曲 的长 度As可以用它的弧微分ds来近似 于是,弧长元素为 c=√1+((k 弧长为 业F,一x 2x(a≤x≤b)的弧长 例1计算曲线3 dx=√1+xdx +=3+=a+-+两 2.参数方程的情形 若曲线由参数方程 (a≤t≤月 给出,计算它的弧长时,只需要将弧微分写成 ds=x2+(y2=o(0]+0() 的形式,从而有 G)+[() 例2计算半径为r的圆周长度 解:圆的参数方程为 (0≤t≤2) ds=versin)+(rcost) dt =rdt 若曲线由极坐标方程r=((a≤8≤月)给出,要导出它的弧长计算公式,只需要将极坐标方程化成 参数方程,再利用参数方程下的弧长计算公式即可 曲线的参数方程为 ly=r(0)sing (c≤8≤) 此时日变成了参数,且弧长元素为因此           例3 计算摆线的一拱 以及 所围成的平面图形绕 轴旋转而生成的立体的体积。 解： 三 ．平面曲线的弧长 1．直角坐标情形 设函数 在区间 上具有一阶连续的导数， 计算曲线 的长度 . 取 为积分变量，则 ,在 上任取一小 区间 ，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长 度 可以用它的弧微分 来近似. 于是，弧长元素为 ，弧长为 . 例1  计算曲线 的弧长. 解： 2．参数方程的情形 若曲线由参数方程 给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成 的形式，从而有 例2  计算半径为 的圆周长度. 解： 圆的参数方程为 3．极坐标情形 若曲线由极坐标方程 给出，要导出它的弧长计算公式，只需要将极坐标方程化成 参数方程，再利用参数方程下的弧长计算公式即可. 曲线的参数方程为 此时 变成了参数，且弧长元素为