例如:因为函数f()=e=∑=∑ m0nm0m!,故z=0为f(-)的本性奇点 例如:因为函数f(=)= cos22!4! (m为整数),所以当m≤2时,z=0为 f(二)的可去奇点;当m>3时,z=0为f(二)的m-2阶极点 在这一步里要求对常用函数的罗朗展式较为熟悉 无穷远点作为孤立奇点的分类 方法与步骤 第一步:判断lim∫(=)是否等于常数,若为常数,则z=∞为∫(=)的可去奇点 例如:lim =0,则z=∞为f(二)的可去奇点 →z(z2-1) 第二步:令w=-,Q()=f(-),判断w=0作为函数g(v)的孤立奇点的类型(方法步骤同上面 5.3中1所述),依据无穷远点作为孤立奇点的分类的定义下结论 例如:判断函数∫(二)=ze=的孤立奇点z=∞的类型 解:设w=-,q(w)=f(), 而 limo()=lime"=1 故=0为o()的一阶极点,即z=∞为f()=e的一阶极点 例如:判断函数f 的孤立奇点z=∞的类型 解:设=-,()=f(-),则 sh nlw (2k+1 sh 显然,W=0为()的本性奇点,即z=∞为f(-) 的本性奇点例如：因为函数 ∑∑ ∞ = − ∞ = == = 0 1 0 1 ! 1 ! ) 1 ( e)( n n n n z n zn z zzzf ，故 z = 0 为 zf )( 的本性奇点. 例如：因为函数 m m z zzz z z zf −+− L = − = cos1 !6!4!2 )( 642 ( m 为整数),所以当 m ≤ 2 时, z = 0 为 zf )( 的可去奇点;当 m > 3 时, 为 的 z = 0 zf )( m − 2 阶极点. 在这一步里要求对常用函数的罗朗展式较为熟悉. 2. 无穷远点作为孤立奇点的分类 方法与步骤 第一步：判断 是否等于常数，若为常数，则 zf )(limz ∞→ z = ∞ 为 zf )( 的可去奇点. 例如： 0 )1( 12 lim 2 = − − ∞→ zz z z ，则 为 z ∞= zf )( 的可去奇点. 第二步：令 , 1 z w = ), 1 ()( w ϕ = fw 判断 w = 0 作为函数ϕ w)( 的孤立奇点的类型（方法步骤同上面 5.3 中 1 所述），依据无穷远点作为孤立奇点的分类的定义下结论. 例如：判断函数 z zzf 1 = e)( 的孤立奇点 z = ∞ 的类型. 解：设 , 1 z w = ), 1 ()( w ϕ = fw 则 w w w e ϕ )( = , 而 1elim)(lim0 0 == → → w w w ϕ w , 故 w = 0 为ϕ w)( 的一阶极点,即 z = ∞ 为 z zezf 1 )( = 的一阶极点. 例如：判断函数 z z zf sh )( = 的孤立奇点 z = ∞ 的类型. 解： 设 , 1 z w = ), 1 ()( w ϕ = fw 则 2 ee1 sh)( 11 ww w w ww − − ϕ ⋅=⋅= 2 )(! 1 ! 1 0 0 ∑ ∑ ∞ = ∞ = − − ⋅= n n n n wnwn w ∑ ∞ = + = 0 2 )!12( 1 k k wk , 显然， 为 w = 0 ϕ w)( 的本性奇点,即 z = ∞ 为 z z zf sh )( = 的本性奇点