教学目标:(请填写课程的基本内容及预期达到的教学效果) 研习当今具有国际一流水平的微积分教程的广度与深度,以俄罗斯 Zorich(卓里奇)著《数学分析》 等为代表微积分教程,可归纳以下特点:①在讲述一元微分学基础上(第一学期),多元微分学则直接建 立在有限维 Euclid空间之间向量值映照之上。 Zorich的书还进一步讲述一般赋范线性空间之间映照的微 分学,亦即一般赋范线性空间上的微分学。②在讲述一元函数 Riemann积分的基础上(第一学期),多 元积分学则沿用有限维 Eucild空间上 Lebesgue积分建立的思想和方法,甚至直接进行。③基于有限维 Euclid空间之间微分同胚的知识,发展微分流形上的微积分。 上述一流化做法的必要性及可行性,可归纳如下 必要性①建立于有限维 Euclid空间之间映照的微积分以及一般赋范线性空间之间映照的微分学将 真正全面地展现微积分在认识自然及非自然世界中的作为;相关的系统思想及方法不仅为力学、物理学等 广大基础科学和技术科学而且也为经济管理等学科提供深厚的知识基础。②讲述一般赋范线性空间之间 映照的微分学,有限维 Euclid空间上 Lebesgue积分建立的基本思想和方法,为进一步研习测度论以及 泛函分析做了十分有益的铺垫;有限维 Euclid空间中微分流形的初步理论为今后研习现代数学、力学、 物理以及数理经济等较为高深的学问(相关系统思想及方法的集合)提供必要的基础。需指出,由于我们 所研究事务的复杂度的提高,测度论以及泛函分析、微分流形等基本思想和方法是我们研究和认识复杂事 务所必然需要的。 可行性①一元微分学(面对一般实函数)建立的思想和方法,可很大程度地直接应用于有限维Eu 空间之间映照;而有限维 Euclid空间之间映照的微分学建立几乎可以“一模一样”的应用于一般赋范线 性空间之间映照的微分学的建立。由此,我们可以将新知识的学习过程作为“温故而知新”的过程。②有 限维 Euclid空间中微分流形的初步理论实质性地基于微分同胚的相应结论,由此我们又可以实践“温故 而知新”的过程。 值得指出,国内现行有复旦大学陈纪修、於崇华、金路编著《数学分析》北京大学张筑生编著《数 学分析新讲》等微积分方面的优秀教材,且影响广泛。值得指出,现行国内数学类专业的微积分教学一般 为三学期,非数学类一般为二学期,由此教学的广度一般限于有限维 Euclid空间上的微积分,经广泛实 践这样的设置是相当合理的。 类比于有限维 Eucl id空间 赋范线性空间上的 上的微分学平行发展 微分学 变分计算 秩定理及其应用 有限维 Euc id空间中 经典力学数学名著选讲 微分学的深化 Morse定理及其应用 (微积分的深化) Froben ius定理 Riemann可积的本质刻画 Lebesuge定理 有限维 EucI id空间中 积分学的深化 Fub in i定理 Riemann积分换元公式 本课程致力于为非数学类的学生,提供由高维 Euclid空间上的微分学延拓至一般赋范线性空间上的 微分学,并补充高维 Euclid空间上的微分学与积分学的相关分析,如上图所示教学目标：（请填写课程的基本内容及预期达到的教学效果） 研习当今具有国际一流水平的微积分教程的广度与深度，以俄罗斯 Zorich（卓里奇）著《数学分析》 等为代表微积分教程，可归纳以下特点：① 在讲述一元微分学基础上（第一学期），多元微分学则直接建 立在有限维 Euclid 空间之间向量值映照之上。Zorich 的书还进一步讲述一般赋范线性空间之间映照的微 分学，亦即一般赋范线性空间上的微分学。② 在讲述一元函数 Riemann 积分的基础上（第一学期），多 元积分学则沿用有限维 Eucild 空间上 Lebesgue 积分建立的思想和方法，甚至直接进行。③ 基于有限维 Euclid 空间之间微分同胚的知识，发展微分流形上的微积分。 上述一流化做法的必要性及可行性，可归纳如下： 必要性 ① 建立于有限维Euclid空间之间映照的微积分以及一般赋范线性空间之间映照的微分学将 真正全面地展现微积分在认识自然及非自然世界中的作为；相关的系统思想及方法不仅为力学、物理学等 广大基础科学和技术科学而且也为经济管理等学科提供深厚的知识基础。② 讲述一般赋范线性空间之间 映照的微分学，有限维 Euclid 空间上 Lebesgue 积分建立的基本思想和方法，为进一步研习测度论以及 泛函分析做了十分有益的铺垫；有限维 Euclid 空间中微分流形的初步理论为今后研习现代数学、力学、 物理以及数理经济等较为高深的学问（相关系统思想及方法的集合）提供必要的基础。需指出，由于我们 所研究事务的复杂度的提高，测度论以及泛函分析、微分流形等基本思想和方法是我们研究和认识复杂事 务所必然需要的。 可行性 ① 一元微分学（面对一般实函数）建立的思想和方法，可很大程度地直接应用于有限维 Euclid 空间之间映照；而有限维 Euclid 空间之间映照的微分学建立几乎可以“一模一样”的应用于一般赋范线 性空间之间映照的微分学的建立。由此，我们可以将新知识的学习过程作为“温故而知新”的过程。② 有 限维 Euclid 空间中微分流形的初步理论实质性地基于微分同胚的相应结论，由此我们又可以实践“温故 而知新”的过程。 值得指出，国内现行有复旦大学陈纪修、於崇华、金路编著《数学分析》、北京大学张筑生编著《数 学分析新讲》等微积分方面的优秀教材，且影响广泛。值得指出，现行国内数学类专业的微积分教学一般 为三学期，非数学类一般为二学期，由此教学的广度一般限于有限维 Euclid 空间上的微积分，经广泛实 践这样的设置是相当合理的。 本课程致力于为非数学类的学生，提供由高维 Euclid 空间上的微分学延拓至一般赋范线性空间上的 微分学，并补充高维 Euclid 空间上的微分学与积分学的相关分析，如上图所示