46l=5+7+449 哥德巴赫并没有把所有奇数都列举出来(事实上也不可能),只是从少数例子出发就 提出了一个猜想:所有大于5的奇数都可以分解为三个素数之和。他把这个猜想告诉了 数学家欧拉。欧拉肯定了他的猜想,并补充提出猜想:大于4的偶数都可以分解为两个 素数之和。例如: 10=5+5 14=7+7 18=9+9 462=5+457 前一个命题可以从这个命题得到证明,这两个命题后来合称为“哥德巴赫猜想”。 民间的许多谚语,如“瑞雪兆丰年”、“础润而雨,月晕而风”、“鸟低飞,披蓑衣” 等,都是根据生活中多次重复的事例,用简单枚举归纳推理概括出来的 简单枚举归纳推理的逻辑形式如下: S1是P S2是P Sn是P S、S灬、…,S是S类的部分对象,并且其中没有S不是P 所以,所有S是(或不是)P 简单枚举归纳推理的结论是或然的,因为其结论超出了前提所断定的知识范围。数 学家华罗庚在《数学归纳法》一书中,对简单枚举归纳推理的或然性做了很好的说明 从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球,第二个是红玻璃球,甚至第三个、第 四个、第五个都是红玻璃球时,我们立刻就会猜想:‘是不是袋子里所有的球都是红玻璃 球?’但是,当我们有一次摸出一个白玻璃球时,这个猜想失败了。这时,我们会出现 另一个猜想:‘是不是袋里的东西全都是玻璃球?’当有一次摸出一个木球时,这个猜想 又失败了。那时,我们又会出现第三个猜想:‘是不是袋里的东西都是球?’这个猜想对 不对,还必须继续加以检验,要把袋里的东西全部摸出来,才能见个分晓。”0 要提高简单枚举归纳推理的可靠性,必须注意以下两条要求:(1)枚举的数量要足 够多,考察的范围要足够广。(2)考察有无反例。通常把不注意以上两条要求因而样本 过少、结论明显为假的简单枚举归纳推理称为“以偏赅全”或“轻率概括”。鲁迅在《内 山完造作<活中国的姿态>序》里写到:“一个旅行者走进了下野的有钱的大官的书斋,看 见有许多很贵的砚石,便说中国是‘文雅的国度’;一个观察者到上海来一下,买几种猥 亵的书和图画,再去寻寻奇怪的观览物事,便说中国是‘色情的国度’。”在这篇文章中 鲁迅更进一步揭示了此类人因为枚举的数量不够多或考察的范围不够 不注意考察有 无反例,以致“以偏赅全”或“轻率概括”而最后必然要陷入的窘境:“倘到穷文人的家 里或者寓里去,不但无所谓书斋,连砚石也不过用着两角钱一块的家伙。一看见这样的 事,先前的结论就通不过去了,所以观察者也就有些窘。” 简单枚举归纳推理是归纳推理中最简单的一种方法。但是,尽管如此,其意义却不 可忽视。(1)简单枚举归纳推理有助发现的作用。当还不能找到概括的充分根据,但已 有相当的材料时,就要运用简单枚举归纳推理,作出初步概括,推出一个或然性结论 以作为进一步研究的起点。因而,形成假说时常用到简单枚举归纳推理。例如,在波义 耳定律的发现过程中,简单枚举归纳推理就起了一定的作用。波义耳从自己所掌握的许 ①华罗庚:《数学归纳法》,上海教育出版社,1963年,第3-4页。6 461=5+7+449 哥德巴赫并没有把所有奇数都列举出来（事实上也不可能），只是从少数例子出发就 提出了一个猜想：所有大于 5 的奇数都可以分解为三个素数之和。他把这个猜想告诉了 数学家欧拉。欧拉肯定了他的猜想，并补充提出猜想：大于 4 的偶数都可以分解为两个 素数之和。例如： 10=5+5 14=7+7 18=9+9 462=5+457 前一个命题可以从这个命题得到证明，这两个命题后来合称为“哥德巴赫猜想”。 民间的许多谚语，如“瑞雪兆丰年”、“础润而雨，月晕而风”、“鸟低飞，披蓑衣” 等，都是根据生活中多次重复的事例，用简单枚举归纳推理概括出来的。 简单枚举归纳推理的逻辑形式如下： S1是 P S2是 P …… Sn是 P S1、S2、…，Sn是 S 类的部分对象，并且其中没有 S 不是 P 所以，所有 S 是（或不是）P 简单枚举归纳推理的结论是或然的，因为其结论超出了前提所断定的知识范围。数 学家华罗庚在《数学归纳法》一书中，对简单枚举归纳推理的或然性做了很好的说明： “从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至第三个、第 四个、第五个都是红玻璃球时，我们立刻就会猜想：‘是不是袋子里所有的球都是红玻璃 球？’但是，当我们有一次摸出一个白玻璃球时，这个猜想失败了。这时，我们会出现 另一个猜想：‘是不是袋里的东西全都是玻璃球？’当有一次摸出一个木球时，这个猜想 又失败了。那时，我们又会出现第三个猜想：‘是不是袋里的东西都是球？’这个猜想对 不对，还必须继续加以检验，要把袋里的东西全部摸出来，才能见个分晓。”① 要提高简单枚举归纳推理的可靠性，必须注意以下两条要求：（1）枚举的数量要足 够多，考察的范围要足够广。（2）考察有无反例。通常把不注意以上两条要求因而样本 过少、结论明显为假的简单枚举归纳推理称为“以偏赅全”或“轻率概括”。鲁迅在《内 山完造作<活中国的姿态>序》里写到：“一个旅行者走进了下野的有钱的大官的书斋，看 见有许多很贵的砚石，便说中国是‘文雅的国度’；一个观察者到上海来一下，买几种猥 亵的书和图画，再去寻寻奇怪的观览物事，便说中国是‘色情的国度’。”在这篇文章中， 鲁迅更进一步揭示了此类人因为枚举的数量不够多或考察的范围不够广，不注意考察有 无反例，以致“以偏赅全”或“轻率概括”而最后必然要陷入的窘境：“倘到穷文人的家 里或者寓里去，不但无所谓书斋，连砚石也不过用着两角钱一块的家伙。一看见这样的 事，先前的结论就通不过去了，所以观察者也就有些窘。” 简单枚举归纳推理是归纳推理中最简单的一种方法。但是，尽管如此，其意义却不 可忽视。（1）简单枚举归纳推理有助发现的作用。当还不能找到概括的充分根据，但已 有相当的材料时，就要运用简单枚举归纳推理，作出初步概括，推出一个或然性结论， 以作为进一步研究的起点。因而，形成假说时常用到简单枚举归纳推理。例如，在波义 耳定律的发现过程中，简单枚举归纳推理就起了一定的作用。波义耳从自己所掌握的许 ① 华罗庚：《数学归纳法》，上海教育出版社，1963 年，第 3—4 页