临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 注意:在函数的定义中,定义域和对应法则是关键,此外也应注意x的任意性和y的唯一性。 (2)函数的相等:如果两个函数的对应法则和定义域分别相等,则称这两个函数相等 3.几种特殊类型的函数: (1)有界函数:(2)单调函数;(3)奇偶函数;(4)周期函数。 、基本定理 确界原理:设S为非空数集。若S有上界,则S必有上确界:若S有下界,则S必有下确界。 、基本要求 掌握有关实数绝对值的性质与运算 2.进一步理解确界的概念及确界原理,并能运用于有关命题的运算和证明; 3.进一步掌握有关函数的运算性质(四则运算、复合运算、反函数等)及其表示方法; 4.加深对具有某些特性函数(如有界函数、奇偶函数、单调函数和周期函数)的认识,并能依此对所给 函数是否具有此性质作出判断。 四、典型例题 例1若S为非空数集,试正面叙述下列概念: (1)数集S无下界; (2)数n是S的上界,但不是S的上确界。 并应用它们分别证明:数集mn∈N无下界:数2是{"∈N}的上界,但不是它的上确界 解:(1)若对L∈R,存在x∈S,使得x<L,则称数集S无下界。 对L∈R,若L≥0,则对Ⅶn∈N,有-n<L;若L<0,则有L>-1∈{mn∈M},故数集 (m∈N}无下界 (2)若对x∈S,恒有x≤n,但彐<n,对x∈S,有x≤a,则n是S的上界,但不是S的上确 界。因为对Vn∈N,有 =1<<2,所以根据上面所给定义知,数2是 n∈N}的上 n+1 界,但不是它的上确界。 例2用单调有界定理证明区间套定理.即已知 1)单调有界定理成立 2)设{anbn为一区间套临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 - 2 - 注意：在函数的定义中，定义域和对应法则是关键，此外也应注意 x 的任意性和 y 的唯一性。 ⑵ 函数的相等：如果两个函数的对应法则和定义域分别相等，则称这两个函数相等。 3. 几种特殊类型的函数： ⑴ 有界函数；（2）单调函数； ⑶ 奇偶函数；⑷ 周期函数。 二、基本定理： 确界原理：设 S 为非空数集。若 S 有上界，则 S 必有上确界；若 S 有下界，则 S 必有下确界。 三、基本要求 1. 掌握有关实数绝对值的性质与运算； 2. 进一步理解确界的概念及确界原理，并能运用于有关命题的运算和证明； 3. 进一步掌握有关函数的运算性质（四则运算、复合运算、反函数等）及其表示方法； 4. 加深对具有某些特性函数（如有界函数、奇偶函数、单调函数和周期函数）的认识，并能依此对所给 函数是否具有此性质作出判断。 四、典型例题 例 1 若 S 为非空数集，试正面叙述下列概念： ⑴ 数集 S 无下界； ⑵ 数η 是 S 的上界，但不是 S 的上确界。 并应用它们分别证明：数集{− n n ∈ N}无下界；数 2 是 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∈ + n N n n 1 的上界，但不是它的上确界。 解：⑴ 若对∀L ∈ R ，存在 x ∈ S ，使得 x < L ，则称数集 S 无下界。 对 ∀L ∈ R ，若 L ≥ 0 ，则对 ∀n∈ N ，有 − n < L ；若 L < 0 ，则有 L > [L]−1∈{− n n ∈ N}，故数集 {− n n ∈ N}无下界。 ⑵ 若对∀x ∈ S ，恒有 x ≤η ，但∃a <η ，对∀x ∈ S ，有 x ≤ α ，则η 是 的上界，但不是 的上确 界。因为对 ，有 S S ∀n∈ N 2 2 3 1 1 1 1 = < < + + < + n n n n ，所以根据上面所给定义知，数 2 是 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∈ + n N n n 1 的上 界，但不是它的上确界。 例 2 用单调有界定理证明区间套定理．即已知： 1） 单调有界定理成立； 2）设{[a n ,bn ]}为一区间套．