临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 第一章函数集与函数 一基本概念 1.数集的相关概念: ()邻域:设a∈R,6>0。满足绝对值不等式x-d<的全体实数x的集合称为点a的δ邻域,记 作U(a;o),或简单地记为U(a)。即 U(a6)={4x-d<)=(a-.a+6) 点a的空心δ邻域:U(a.6)=<k-dk<。 点a的δ右邻域:U,(a,o)=[a,a+o), 点a的δ左邻域:U(a,)=[a,a+o) (2)有界集:设S为R中的一个数集。若存在数M(L),使得对一切x∈S,都有x≤M(x≥L),则称 为S有上界(下界)的数集。数M(L)称为S的一个上界(下界)。 (3)设S为R中的一个数集。若数刀满足: (i)对一切x∈S,有x≤7,即是S的上界 (i)对任何a<n,存在x0∈S,使得x0>a,即n又是S的最小上界,则称数n为数集S的上 界,记作刀=SupS。 (4)设S为R中的一个数集。若数5满足: (i)对一切x∈S,有x≥5,即5是S的下界 (i)对任何B>5,存在x0∈S,使得x0<B,即5又是S的最大下界,则称数5为数集S的下 确界,记作=infS。 2.函数及相关概念 (1)定义:给定两个实数集D和M,若有对应法则∫,使对D内的每一个数x,都有唯一的一个数 y∈M与它对应,则称∫是定义在数集D上的函数,记作∫:D→M,或简记为y=f(x),实数集D称 为函数∫的定义域,全体函数值的集合f(D)={y=f(x)x∈DkcM)称为函数∫的值域。临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 - 1 - 第一章 函数集与函数 一、基本概念 1. 数集的相关概念： ⑴ 邻域：设 a ∈ R ，δ > 0。满足绝对值不等式 x − a < δ 的全体实数 x 的集合称为点 a 的δ 邻域，记 作U (a;δ ) ，或简单地记为U (a) 。即： U (a;δ ) = {x x − a < δ }= (a − δ , a + δ ) 点 a 的空心δ 邻域： ( ; ) { 0 }. 0 U a δ = x < x − a < δ 点 a 的δ 右邻域： ( ;δ ) = [ , + δ ) + U a a a ， 点 a 的δ 左邻域： ( ;δ ) = [ , + δ ) − U a a a ⑵ 有界集：设 S 为 R 中的一个数集。若存在数 M (L) ，使得对一切 x ∈ S ，都有 ，则称 为 有上界（下界）的数集。数 称为 的一个上界（下界）。 x ≤ M (x ≥ L) S M (L) S ⑶ 设 S 为 R 中的一个数集。若数η 满足： （i）对一切 x ∈ S ，有 x ≤η ，即η 是 S 的上界； （ii）对任何α <η ，存在 x0 ∈ S ，使得 x0 > α ，即η 又是 S 的最小上界，则称数η 为数集 的上确 界，记作 S η = sup S 。 ⑷ 设 S 为 R 中的一个数集。若数ξ 满足： （i）对一切 x ∈ S ，有 x ≥ ξ ，即ξ 是 S 的下界； （ii）对任何 β > ξ ，存在 x0 ∈ S ，使得 x0 < β ，即ξ 又是 S 的最大下界，则称数ξ 为数集 的下 确界，记作 S ξ = inf S 。 2. 函数及相关概念 ⑴ 定义 ：给定两个实数集 D 和 M ，若有对应法则 ，使对 内的每一个数 ，都有唯一的一个数 与它对应，则称 是定义在数集 上的函数，记作 或简记为 ，实数集 称 为函数 的定义域，全体函数值的集合 f D x y ∈ M f D f : D → M , y = f (x) D f f (D) = {y y = f (x), x ∈ D}(⊂ M ) 称为函数 f 的值域