证：设B是其他方法得到的关于B,的线性无偏估计量： B=∑cY, 其中，c,=k,+d,d,为不全为零的常数，于是 E(B)=E(∑cY)=∑c,E(Y)=∑c,(B。+BX,)=B∑c,+B∑cX, 由B的无偏性，即E(月)=B,可知： B∑c,+B∑cX,=B 已知∑c,=0，从而∑c,X,=1 月的方差var()=var(∑c,Y)=∑var(Y,)=∑cvar(4,)=∑co =∑k+d,)产o2=∑o2+∑do2+2o2∑kd 由于∑k,d=∑k,(c,-k)=∑kc,-∑k 京-8：2-女0 故 aa)=∑5o+∑4o20+oΣ4=vaa)+g∑4 因为 ∑d≥0 所以 var(B)≥var(B) 当d,=0,(i=1,2…,n)等号成立，此时，C,=k,B就是OLS估计量B。 人、试证明一元线性回归模型随机扰动项“的方差。2的无偏估计量为后_∑g n-2 证：给定一组样本{X,Y,},容易写出模型Y,=阝。+PX,+4,的离差形式为： y:=Bx,+(4-回) 根据样本回归函数的离差形式： =Bx 易知 88 证：设 * 1 β ˆ 是其他方法得到的关于 β1的线性无偏估计量： = ∑ i Yi c * 1 β ˆ 其中， i i di c = k + ， i d 为不全为零的常数，于是 = ∑ i i = ∑ i i = ∑ i + i = ∑ i + ∑ i Xi E E c Y c E Y c X c c 0 1 0 1 * 1 ) ( ) ( ) ( ) ˆ (β β β β β 由 * 1 β ˆ 的无偏性，即 1 * 1 ) ˆ E(β = β 可知： β 0∑ i + β1∑ i Xi = β1 c c 已知 ∑ = 0 i c ， 从而 ∑ = 1 i Xi c * 1 β ˆ 的方差 = ∑ = ∑ = ∑ = ∑ * 2 2 2 2 1 ) var( ) var( ) var( ) ˆ var(β ci Yi ci Yi ci µ i ci σ =∑ i + i = ∑ i +∑ i + ∑ i i k d k d k d 2 2 2 2 2 2 2 ( ) σ σ σ 2σ 由于 ∑ = ∑ − = ∑ −∑ 2 ( ) i i i i i i i i k d k c k k c k = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − = − = − − = 0 1 1 2 2 2 2 2 2 i i i i i i i i i i i x x k x X c X c c k x x 故 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = + = + = + 2 2 1 2 2 2 2 * 2 2 2 2 1 ) ˆ var( 1 ) ˆ var( i i i i i d d x β k σ d σ σ σ β σ 因为 ∑ ≥ 0 2 i d 所以 ) ˆ ) var( ˆ var( 1 * β1 ≥ β 当 di = 0 ，（i = 1,2, n ）等号成立，此时， i i c = k ， * 1 β ˆ 就是 OLS 估计量 1 β ˆ 。 4、 试证明一元线性回归模型随机扰动项µ 的方差 2 σ 的无偏估计量为 2 ˆ 2 2 − = ∑ n ei σ 。 证：给定一组样本{ Xi Yi , }，容易写出模型Yi = β 0 + β1Xi + µi 的离差形式为： ( ) yi = β1 xi + µ i − µ 根据样本回归函数的离差形式： i i y x1 ˆ ˆ = β 易知