e3-2y,-,)2 =2(B,-B)x,+(4,-) =2(B-B)2x+2(B-B)x,(4,-)+(4,-四)2) =B-月，)2x+(4-m)2-22(2k4,)x,(4-m) -2(B,-B)2x+2(4,-可)2-22x,4,k4,+2x,k,4 =XR-Ax+24,-m2-22x4,2 x4 因为 ∑A-)x=∑am)=g E∑(4，-m2=E(∑4-2π∑4，+m=E(∑4-m2)=n-l1)o2 器… ∑了 所以 E(∑e)=o2+(n-10o2-2o2=(n-2)o2 从而 E2)=2 n-2 对一元线性回归模型Y=A+AX+4,试证明CoA,)=一分。一 证： Cov(B。,B)=E(B。-B(B,-B)=E(B。-EB)(B-E(B) =E(辽-B,x-(了-XE(B)(B-E(B,) =-E(B,-E(B)B,-E(B) =-E(B,-E(B,)》2=-xvar(B) 99 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 ) ( ) 2 ˆ ( ) ( ) 2 2 ˆ ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ˆ ) ( ) ( ) ) ˆ ) 2( ˆ (( ) ( )) ˆ (( ( ˆ ) i x x x x x x k x k x k x x x x e y y i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i Σ Σ = Σ − + Σ − − Σ = Σ − + Σ − − Σ Σ + Σ Σ = Σ − + Σ − − Σ Σ − = Σ − + − − + − = Σ − + − Σ = Σ − µ β β µ µ µ β β µ µ µ µ µ µ β β µ µ µ µ µ β β β β µ µ µ µ β β µ µ 因为 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 ) ˆ ) var( ˆ ( σ σ β − β = β = = ∑ ∑ ∑ ∑ i i i i x x E x x ∑ − = ∑ − ∑ + = ∑ − = − 2 2 2 2 2 E (µ i µ) E( µ i 2µ µ i nµ) E( µ i nµ ) (n 1)σ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) σ µ µµ µ =           + =         ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ≠ i i j i i i i j j i i i x x x x E x x E 所以 2 2 2 2 2 E(∑ei ) = σ + (n −1)σ − 2σ = (n − 2)σ 从而 2 2 ) 2 ( = σ − Σ n e E i 5、 对一元线性回归模型Yi = β 0 + β1Xi + µi ，试证明 ∑ = − 2 2 0 1 ) ˆ , ˆ ( i x X Cov σ β β 。 证： ∑ = − = − − = − = − − − = − − − − = − − = − − 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 ) ˆ )) var( ˆ ( ˆ ( )) ˆ ))( ( ˆ ( ˆ ( )) ˆ )))( ( ˆ ( ( ˆ ( )) ˆ ))( ( ˆ ( ˆ ) ( ˆ )( ˆ ) ( ˆ , ˆ ( i x X XE E X XE E E E Y X Y XE E Cov E E E E σ β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β β