以下设fx)≠0。令fx)g(x)的次数分别为n,m,对fx)的次数n作数学归纳法。 当n<m时，显然取gx)=0r)=fx以(1)式成立。 下面讨论n≥m的情形。假设当次数小于n时，g(x,x)的存在已证。现在看次数为n的情 形。 令ax",bx"分别是fx)g(x)的首项，显然ba-mg(x)与fx)有相同的首相，因而多项式 f(x)=f(x)-b-ax"-"g(x) 的次数小于n或为0。对于后者，取qx)=b~a",(x)=0:对于前者，由归纳法假设， 对fx)gx)有g(x5(x)存在使 (x)=4(x)g(x)+(x) 其中ar(x》<(g(x)》或者r(x)-0。于是 f(x)=(q:(x)+b-ax-")g(x)+n(x) 也就是说，有gx)=q,(x)+bar-",r(x)=r(x)使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) 成立。由归纳法原理，对任意的f)g(x)≠0，q(x,)的存在性就证明了。 下面证明唯一性。设另有多项式g(x),r(x)使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) 其中r'(x》<(g(x》或者r'(x)=0。于是 g(x)g(x)+r(x)=q(x)g(x)+r(x) 即 (q(x)-q'(x)g(x)=r'(x)-r(x) 如果q(x)≠q(x),又根据假设g(x)≠0，那么r'(x)-(x)≠0，且有 (q(x)-q(x》+(g(x)=r'(x)-(x) 但是 a(g(x》>r'(x)-r(x) 所以上式不可能成立。这就证明了g(x)=g(x),因此(x)=r'(x)。 带余除法中所得的q(x)通常称为g(x)除f(x)的商，r(x)称为g(x)除f(x)的余式 定义5数域P上的多项式g(x)称为整除f(x),如果有数域P上的多项式(x)使等式 f(x)=g(x)h(x) 成立。我们用g(xf()表示g(x)整除f(x),里g(x/(x)表丞g(x)不整隆fx) 当g(xf(x)时，g(x)称为f(x)的因式，f(x)称为g(x)的倍式。 当g(x)≠0时，带余除法给出了整除性的一个判别法。 定理1对于数域P上的任意两个多项式g(x),f(x),其中g(x)≠0，g(xf(x)的充分必 要条件是gx)除fx)的余式为零。 证明如果r(x)=0,那么f(x)=gx)h(x),即gx/x)。 反过来，如果g(xf(x),那么 f(x)=g(x)h(x)=g(x)h(x)+0以下设 f (x)  0 。令 f (x), g(x) 的次数分别为 n,m ，对 f (x) 的次数 n 作数学归纳法。 当 n  m 时，显然取 q(x) = 0;r(x) = f (x), （1）式成立。 下面讨论 n  m 的情形。假设当次数小于 n 时， q(x),r(x) 的存在已证。现在看次数为 n 的情 形。 令 n n ax ,bx 分别是 f (x), g(x) 的首项，显然 b ax g(x) −1 n−m 与 f (x) 有相同的首相，因而多项式 ( ) ( ) ( ) 1 1 f x f x b ax g x − n−m = − 的次数小于 n 或为 0。对于后者，取 ( ) , ( ) 0 1 = = − − q x b ax r x n m ；对于前者，由归纳法假设， 对 ( ), ( ) 1 f x g x 有 ( ), ( ) 1 1 q x r x 存在使 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f x = q x g x + r x 其中 ( ( )) ( ( )) 1  r x   g x 或者 r(x) = 0 。于是 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) 1 1 1 f x q x b ax g x r x n m = + + − − 也就是说，有 ( ) ( ) , ( ) ( ) 1 1 1 q x q x b ax r x r x n m = + = − − 使 f (x) = q(x)g(x)+ r(x) 成立。由归纳法原理，对任意的 f (x), g(x)  0,q(x),r(x) 的存在性就证明了。 下面证明唯一性。设另有多项式 q (x),r (x) 使 f (x) = q (x)g(x)+ r (x) 其中 (r (x))  (g(x)) 或者 r (x) = 0 。于是 q(x)g(x)+ r(x) = q (x)g(x)+ r (x) 即 (q(x) − q (x))g(x) = r (x) − r(x) 如果 q(x)  q (x) ，又根据假设 g(x)  0, 那么 r (x) − r(x)  0, 且有 (q(x) − q (x)) + (g(x)) = (r (x) − r(x)) 但是 (g(x))  (r (x) − r(x)) 所以上式不可能成立。这就证明了 q(x) = q (x), 因此 r(x) = r (x) 。 带余除法中所得的 q(x) 通常称为 g(x) 除 f (x) 的商，r(x) 称为 g(x) 除 f (x) 的余式。 定义 5 数域 P 上的多项式 g(x) 称为整除 f (x) ，如果有数域 P 上的多项式 h(x) 使等式 f (x) = g(x)h(x) 成立。我们用 g(x) f (x) 表示 g(x) 整除 f (x) ，用 g(x) f (x) 表示 g(x) 不整除 f (x) 当 g(x) f (x) 时， g(x) 称为 f (x) 的因式， f (x) 称为 g(x) 的倍式。 当 g(x)  0 时，带余除法给出了整除性的一个判别法。 定理 1 对于数域 P 上的任意两个多项式 g(x) ， f (x) ，其中 g(x)  0, g(x) f (x) 的充分必 要条件是 g(x) 除 f (x) 的余式为零。 证明 如果 r(x) = 0 ，那么 f (x) = g(x)h(x) ，即 g(x) f (x) 。 反过来，如果 g(x) f (x) ，那么 f (x) = g(x)h(x) = g(x)h(x) + 0