那么f)与gx)的和为 )+g6)=a+b,k+a+bk-++a+6k+a+6)=∑a,+bk 而fx)与g(x)的积为 f(x)g(x)=a bxm+(a,b+ab xm++(abo+aob +aobo 其中s项的系数是 a,h+ab+tab+ab,=∑ab, 所以fx)gx)可写成 fs)=∑ab,k 显然，数域P上的两个多项式经过加、减、乘等运算后，所得结果仍然是数域P上的两 个多项式。 对于多项式的加减法，有af(x)士gx)smx(6(f(x儿g(x》 对于多项式的乘法，可以证明，如果fx)≠0，gx)≠0，那么fxgx)≠0，并且 U(x)g(x)=f(x》+(g(x),即多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积。 和数的运算一样，多项式的运算也满足下面的一些规律： 1、加法交换律：fx)+gx)=gx)+fx) 2、加法结合律：(fx)+gx)+hx)=fx)+(gx)+x) 3、乘法交换律：fg()=gxf) 4、乘法结合律：（fxg(x)(x)=fxgx)x) 5、乘法对加法的分配律：fxg(x)+hx)=fxg(x)+fx)x) 6、乘法消去律：如果fxg(x)=fx)hx)且fx)≠0，那么gx)=x)。 定义4所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为 PxP称为P的系数。 第三节 整除的概念 这一节以后各节的讨论都是在某一固定的数域P上的多项式环Px中进行的，以后不再 重复说明了。 带余除法对于P]中任意两个多项式f(x)与gx),其中gx)≠O,一定有P]中的多项 式q(x))存在，使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) (1) 成立，其中x)<(g(x》或者(x)=0,并且这样的q(x(x)是唯一确定的。 证明：(1)中qx)和(x)的存在性可以由上面所说的除法直接得出，用数学归纳法叙述。 如果fx)=0,取g)=)=0即可。 那么 f (x) 与 g(x) 的和为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + = + + − + − + + + + + = + n i i i i n n n n n n f x g x a b x a b x a b x a b a b x 0 1 1 0 0 1 1 1  而 f (x) 与 g(x) 的积为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 0 1 f x g x a b x a b 1 a 1b x a b a b x a b n m n m n m n m = n m + + + + + + + − − − +  其中 s 项的系数是  + = + − + + − + = i j s asb0 as 1b1  a1bs 1 a0bs aibj 所以 f (x) g(x) 可写成 ( ) ( ) s n m s i j s i j f x g x  a b x + = + =         = 0 显然，数域 P 上的两个多项式经过加、减、乘等运算后，所得结果仍然是数域 P 上的两 个多项式。 对于多项式的加减法，有 (f (x) g(x))  max((f (x)),(g(x))) 对于多项式的乘法，可以证明，如果 f (x)  0, g(x)  0, 那么 f (x)g(x)  0, 并且 (f (x)g(x)) = (f (x))+ (g(x)) ，即多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积。 和数的运算一样，多项式的运算也满足下面的一些规律： 1、加法交换律： f (x)+ g(x) = g(x)+ f (x) 2、加法结合律： (f (x)+ g(x))+ h(x) = f (x)+ (g(x)+ h(x)) 3、乘法交换律： f (x)g(x) = g(x)f (x) 4、乘法结合律： (f (x)g(x))h(x) = f (x)(g(x)h(x)) 5、乘法对加法的分配律： f (x)(g(x)+ h(x)) = f (x)g(x)+ f (x)h(x) 6、乘法消去律：如果 f (x)g(x) = f (x)h(x) 且 f (x)  0, 那么 g(x) = h(x)。 定义 4 所有系数在数域 P 中的一元多项式的全体，称为数域 P 上的一元多项式环，记为 Px,P 称为 Px 的系数。 第三节 整除的概念 这一节以后各节的讨论都是在某一固定的数域 P 上的多项式环 Px 中进行的，以后不再 重复说明了。 带余除法 对于 Px 中任意两个多项式 f (x) 与 g(x) ，其中 g(x)  0, 一定有 Px 中的多项 式 q(x),r(x) 存在，使 f (x) = q(x)g(x)+ r(x) （1） 成立，其中 (r(x))  (g(x)) 或者 r(x) = 0, 并且这样的 q(x),r(x) 是唯一确定的。 证明：（1）中 q(x) 和 r(x) 的存在性可以由上面所说的除法直接得出，用数学归纳法叙述。 如果 f (x) = 0, 取 q(x) = r(x) = 0 即可