精品课程《数学分析》课外训练方案 (2 +1(2x+1 1) (4) 12.按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性: 0)2(-x)x,x∈②2∑(x x∈(-∞,+ 3.讨论下列函数项级数的一致收敛性 (1)> sinn x∈(-∞,+∞) =1+nx2,xe(-∞,+∞) x∈[0,+∞) nnx ,x∈(-2,+∞) 14.讨论下列函数项级数的一致收敛性: x∈(-∞,+∞) sinxsin nx ,x∈[0,2x]; n√n+x x∈(-1,+∞); x∈(-∞,+ ) n+sin x 15.证明级数∑(-1y关于x在(一∞,+∞)上为一致收敛,但对任何x并非绝 对收敛;而级数 虽在x∈(-∞,+∞)上绝对收敛,但并不一致收敛 f(1+x2)精品课程《数学分析》课外训练方案 ⑴ 2 1 ; 1 n n n x x ∞ = + ∑ ⑵ 1 ; 1 2 1 n n n x n x ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ∑ ⑶ 1 ( 1) 1 ; 2 1 1 n n n x n x ∞ = − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ ∑ ⑷ 2 2 1 1 1 . 1 n n n a x ∞ = ⋅ + ∑ 12．按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ ⑵ 0 (1 ) , [0,1]; n n x x x ∞ = ∑ − ∈ 1 2 2 1 ( 1) , ( , ) (1 ) n n n x x x ∞ − = − ∈ −∞ +∞ + ∑ . 13．讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 3 4 4 1 sin , ( , ); n nx x n x ∞ = ∈ −∞ +∞ + ∑ ⑵ 4 2 1 , ( , ); n 1 x x n x ∞ = ∈ −∞ +∞ + ∑ ⑶ 2 2 1 ( 1) (1 ) , [0, ); n nx n e x n x ∞ − = − − ∈ + ∞ + ∑ ⑷ 1 sin , ( 2, ) 2n n nx x x ∞ = ∈ − +∞ + ∑ ; 14．讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 2 2 1 2 cos 3 , ( , ); n n x n x π ∞ = ∈ −∞ +∞ + ∑ ⑵ 1 sin sin , [0, 2 ]; n x nx x n x π ∞ = ∈ + ∑ ⑶ 1 ( 1) , ( 1, ) n n x x n ∞ = − ∈ − +∞ + ∑ ; ⑷ 1 ( 1) , ( , ); sin n n x n x ∞ = − ∈ −∞ +∞ + ∑ 15．证明级数 1 2 1 1 ( 1) n n n x ∞ − = − + ∑ 关于 x 在 ( , −∞ +∞) 上为一致收敛，但对任何 并非绝 对收敛；而级数 x 2 2 1 (1 ) n n x x ∞ = + ∑ 虽在 x ∈( , −∞ +∞) 上绝对收敛，但并不一致收敛。 4