精品课程《数学分析》课外训练方案 五、自测题 1.设∫n(x)(n=1,2…)在[a,b上有界,并且{n(x)}在[a,b]上一致收敛,求证:fn(x) 在[a,b]上一致有界。 2.设f()定义于(b),令(x)=y(对(m=12, 求证:{fn(x)}在(a,b)上一致收敛于f(x) 3.设f(x)在(ab)内有连续的导数∫(x),且∫n(x)=川f(x+-)-f(x) 求证:在闭区间[a,6(a<a<B<b)上,{(x)}一致收敛于∫(x) 4.设f(x)在小上黎曼可积,定义函数序列fm()=J0d(m=12…) 求证:{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于零 5.参数a取什么值时,f(x)=nxe,n=1,2,3…在闭区间[O,1收敛?在闭区 间[0,]一致收敛?使lm「(xx女可在积分号下取极限? 6.证明序列f(x)=nem(n=1,2…)在闭区间[0,]上收敛,但 m(xk≠imJ(x 7.设∫n(x)(n=1,2,…)在(-∞,+∞)一致连续,且{f厂(x)在(-∞,+∞)一致收敛于 f(x)。求证:f(x)在(-∞,+∞)上一致连续 8.设{厂(x)}是[ab]上的连续函数列,且{fn(x)}在[a,b]一致收敛于f(x); 又xn∈[a,b](n=1,2,…),满足lmxn=x0,求证 lim f,(xn)=f(x0) 9.设{∫n(x)}在(a,b)内一致收敛于f(x),x∈(a,b)且Iimf(x)=an, (n=12,…)。证明: lim a和limf(x)存在且相等,即 lim lim f,(x)= lim lim f(x) 0.设∫n(x)(n=1,2…)在[a,b黎曼可积,且{f∫(x)}在[a,b]一致收敛于∫(x), 证明:f(x)在[a,b黎曼可积。 11.求出下列函数项级数的收敛区域(绝对的和条件的)精品课程《数学分析》课外训练方案 五、自测题 1．设 ( ) nf x ( 1 n = , 2,⋅⋅⋅)在[ , a b]上有界，并且{ ( )} nf x 在[ , a b]上一致收敛，求证： ( ) nf x 在[ , a b]上一致有界。 2．设 f x( ) 定义于( , a b)，令 [ ( )] ( ) n nf x f x n = ( 1 n = , 2,⋅⋅⋅). 求证：{ ( )} nf x 在( , a b)上一致收敛于 f x( ) 。 3．设 f x( ) 在( , a b)内有连续的导数 f ′(x) ，且 1 ( ) [ ( ) ( )], nf x n f x f x n = + − 求证：在闭区间[ , α β ] (a b < < α β < ) )} 上，{ ( fn x 一致收敛于 f ′(x). 4．设 1f (x) 在[ , a b]上黎曼可积，定义函数序列 1( ) ( ) x n n a f x f t + = ∫ dt ( 1 n = ⋅ , 2, ⋅⋅) 求证：{ ( )} nf x 在[ , a b]上一致收敛于零。 5．参数α 取什么值时， ( ) , nx nf x n xe α − = n =1, 2,3,⋅⋅⋅ 在闭区间[0,1] 收敛？在闭区 间[0,1] 一致收敛？使 1 0 lim ( ) n n f x dx −>∞ ∫ 可在积分号下取极限？ 6．证明序列 2 ( ) nx nf x nxe− = ( 1 n = , 2,⋅⋅⋅)在闭区间[0,1] 上收敛，但 1 1 0 0 lim ( ) lim ( ) . n n n n f x dx f x dx −>∞ −>∞ ≠ ∫ ∫ 7．设 ( ) nf x ( 1 n = , 2,⋅⋅⋅) 在 ( , −∞ +∞) 一致连续，且{ ( )} nf x 在 ( , −∞ +∞) 一致收敛于 f x( ) 。求证： f x( ) 在( , −∞ +∞) 上一致连续。 8．设{ ( )} nf x 是[ , a b]上的连续函数列，且{ ( )} nf x 在[ , a b]一致收敛于 f x( ) ； 又 [ , ] n x ∈ a b ( 1 n = , 2,⋅⋅⋅)，满足 0 lim n n x x −>∞ = ，求证 0 lim ( ) ( ). n n n f x f x −>∞ = 9 ． 设 { ( )} nf x 在 ( , a b) 内一致收敛于 f x( ) ， 0 x ∈( , a b) 且 0 lim ( ) , n n x x f x a −> = ( 1 n = , 2,⋅⋅⋅)。证明： lim n 和 n a −>∞ 0 lim ( ) x x f x −> 存在且相等，即 0 0 lim lim ( ) lim lim ( ) n n n x x x x n f x f −>∞ −> −> −>∞ = x . 10．设 ( ) nf x ( 1 n = , 2,⋅⋅⋅)在[ , a b]黎曼可积，且{ ( )} nf x 在[ , a b]一致收敛于 f x( ) ， 证明： f x( ) 在[ , a b]黎曼可积。 11．求出下列函数项级数的收敛区域（绝对的和条件的）： 3