精品课程《数学分析》课外训练方案 f(x) 定理6(可微性)设{n}为定义在区间[a,b]上的函数列,若x∈[ab]为{n}的收 敛点,{n}的每一项在[a又连续的导函数,且{}在[ab]上一致收敛,则 (lim, (x))=lim -f (x) 二、基本方法 1、用柯西熟练准则、M判别法、阿贝尔和狄利克雷判别法判断函数列和函数项级 的一致收敛性。 2、用可积性、可微性等定理计算某些函数项级数的和 3、用逐项求积、逐项求导定理计算某些函数项级数 三、基本要求 1.掌握函数列和函数项级数的一致收敛概念 2.用柯西熟练准则、M判别法、阿贝尔和狄利克雷判别法判断函数列和函数项级数的 致收敛性。 3.用可积性、可微性等定理计算某些函数项级数的和 4.用逐项求积、逐项求导定理计算某些函数项级数 四、典型例题 例1函数列∫(x)=2n n(1+n2x2),n=12,…,与f(x)= nx 1+n2x 0上都收效于,由于1my(x)-f(x)=2,所以导函数列(x)在D]不 致收敛,但有imfm(x)=0=umJn(x) 例2函数项级数∑(x+)在上一致收敛。因为记n,(x)=D vn(x)=(1+-)”时,有阿贝尔判别法就能得到结果 例3∑(-)F1上一致收敛。(证略) 例4(1)∑在[ab上收敛。(2)∑ 在R上一致收敛 1+4x精品课程《数学分析》课外训练方案 f x dx f x dx b a n n n b a n lim ( ) lim ( ) ∫ ∫ →∞ →∞ = 定理 6 （可微性）设{f n }为定义在区间[a,b]上的函数列，若 [ , ] x0 ∈ a b 为 的收 敛点，{ 的每一项在 又连续的导函数，且 {f n } f n } [a,b] {f n } ' 在[a,b]上一致收敛，则 (lim ( )) lim f (x) dx d f x dx d n n n n→∞ →∞ = 二、基本方法 1、 用柯西熟练准则、M-判别法、阿贝尔和狄利克雷判别法判断函数列和函数项级 的一致收敛性。 2、用可积性、可微性等定理计算某些函数项级数的和。 3、用逐项求积、逐项求导定理计算某些函数项级数。 三、基本要求 1． 掌握函数列和函数项级数的一致收敛概念。 2． 用柯西熟练准则、M-判别法、阿贝尔和狄利克雷判别法判断函数列和函数项级数的 一致收敛性。 3．用可积性、可微性等定理计算某些函数项级数的和。 4．用逐项求积、逐项求导定理计算某些函数项级数。 四、典型例题 例 1 函数列 ln(1 ) 2 1 ( ) 2 2 n x n f x n = + ，n = 1,2,L, 与 2 2 / 1 ( ) n x nx f x n + = ， 在 上都收敛于 0，由于 n = 1,2,L, [0,1] 2 1 lim max ( ) ( ) / / [0,1] − = →∞ ∈ f x f x n n x ，所以导函数列 在 不一 致收敛，但有 { ( )} / f x n [0,1] [ ] / / lim f (x) 0 lim f (x) n n n n→∞ →∞ = = 。 例 2 函数项级数 ∑ + − + 1 ( 1) ( ) n n n n x n 在 [0,1] 上一致收敛。因为记 n u x n n ( 1) ( ) − = ， n n n x v (x) = (1+ ) 时，有阿贝尔判别法就能得到结果。 例 3 ∑ + − + ) 1 ( 1 n x n x n n [-1,1]上一致收敛。（证略） 例 4 （1）∑ n! x n 在[a,b]上收敛。（2）∑ 2 1＋4x x 在 R 上一致收敛 证：略。 2