Th1(度量空间完备化定理设X=(X,d)是度量空间,那么一定存 在一完备度量空间X=(,d),使X与的其个稠密子空间W等距同构, 并且X在等距同构意义下是唯一的,即若(X,d)也是一完备度量空间,且 X与文的其个稠密子空间W等距同构,则(X,a)与(x,d)等距同构 证明分4步完成 (1)构造X=(X,d) 令X为X中柯西点列x={xn全体,对X中任意两个元素= 和y={ynm,若 Rn,) 则称X与j相等,记为=j,或{xn=1={y x={xnm3,j={vn∈x,定义 首先指出(2式右端极限存在实因由三点不等式 Vn 所以 d(m,y)-d(xm,yu)sd(,, xm)+d(m,y,) 同理 d(xm,ym)-dx,yu)sd(rm, xm)+dm,y) 所以|d(xn,yn)-d(xn,yn)|≤d(xn,xn)+d(mn,yn 因为{xnm和{vnm是X中的柯西点列,所以{4(xn,yn)=是R 中柯西数列,所以(2)式在端极限存在 其次指出:若n}=={xm,bn=bnm1,则 im alx y29 Th 1 (度量空间完备化定理) 设 X =( X ,d )是度量空间，那么一定存 在一完备度量空间 X ~ =( X ~ , d ~ )，使 X 与 X ~ 的其个稠密子空间 W 等距同构， 并且 X ~ 在等距同构意义下是唯一的，即若( X ˆ , d ˆ )也是一完备度量空间，且 X 与 X ˆ 的其个稠密子空间 W 等距同构，则( X ~ ,d ~ )与( X ˆ ,d ˆ )等距同构. 证明 分 4 步完成. (1)构造 X ~ =( X ~ , d ~ ). 令 X ~ 为 X 中柯西点列 x ~ =   n n=1 x 全体，对 X ~ 中任意两个元素 x ~ =   n n=1 x 和 y ~ =   n n=1 y ，若 n→ lim ( ) n n d x , y =0， (1) 则称 x ~ 与 y ~ 相等，记为 x ~ = y ~ ，或    n n=1 x =   n n=1 y .  x ~ =   n n=1 x ， y ~ =   n n=1 y  X ~ ，定义 d ~ ( x ~ , y ~ )= n→ lim ( ) n n d x , y . (2) 首先指出(2)式右端极限存在. 实因由三点不等式 ( ) n n d x , y  ( ) n m d x , x + ( ) m m d x , y + ( ) m n d y , y ， 所以 ( ) n n d x , y - ( ) m m d x , y  ( ) n m d x , x + ( ) m n d y , y . 同理 ( ) m m d x , y - ( ) n n d x , y  ( ) n m d x , x + ( ) m n d y , y . 所以 | ( ) m m d x , y - ( ) n n d x , y |  ( ) n m d x , x + ( ) m n d y , y . (3) 因为    n n=1 x 和    n n=1 y 是 X 中的柯西点列，所以  ( )  =1 , n n n d x y 是 1 R 中柯西数列,所以(2)式在端极限存在. 其次指出：若    n n=1 x =   =  n n 1 x ，   n n=1 y =   =  n n 1 y ，则 n→ lim ( ) n n d x , y = n→ lim ( ) n n d x  , y 