() t∈ 则x0()为x上的可测函数,故x0()∈M(x).当nn4>N时,由 I, ()-xn () dt= 令k→,由勒贝格有界收敛定理,得d(xn,x)≤E(n≥N).所以 xn→x0(n→∞).故M(X)是完备的度量空间 第7次课 教学内容(或课题):§5.度量空间的完备化 目的要求:使学生掌握度量空间的完备化定理的条件、结论及其证 明方法 教学过程 Der1设(X,d),(x,d)是两个度量空间,若存在X到X上的保 距映照T(Vx1,x2∈X,有d(Tx1,Tx2)= d(x1,x2),则称(X,d)和(X,d)等距同构,此时称T为X到X上的等 距同构映照(既映上又保距) 等距同构映照是1-1映照.实因设yx1,x2∈X,且x1≠x2,则因 d(x1,x2)>0及d(Tx1,Tx2)=d(x1,x2)>0,知Tx1≠7x2 在泛函分析中往往把两个等距同构的度量空间不加区别而视为同一个度 量空间28 x (t) 0 = ( )     −  0 0 0, , t X X x t t X 则 x (t) 0 为 X 上的可测函数，故 x (t) 0  M(X ). 当 n,nk  N 时，由 ( ) ( ) ( ) ( )  + − − X n n n n dt x t x t x t x t k k 1 = ( ) n nk d x , x   ， 令 k → ，由勒贝格有界收敛定理，得 ( )   0 d x , x n (n  N). 所以 0 x x n → (n →). 故 M(X ) 是完备的度量空间. 第 7 次课 教学内容(或课题)： §5.度量空间的完备化 目的要求： 使学生掌握度量空间的完备化定理的条件、结论及其证 明方法. 教学过程： Der 1 设( X , d )，( X ~ ,d ~ )是两个度量空间，若存在 X 到 X ~ 上的保 距映照 T (  1 x , 2 x  X ，有 d ~ ( T 1 x ,T 2 x )= d ( 1 x , 2 x ))，则称( X , d )和( X ~ ,d ~ )等距同构，此时称 T 为 X 到 X ~ 上的等 距同构映照(既映上又保距). 等距同构映照是1-1 映照. 实因设  1 x , 2 x  X ，且 1 x  2 x ，则因 d ( 1 x , 2 x )  0 及 d ~ ( T 1 x ,T 2 x )= d ( 1 x , 2 x )  0，知 T 1 x  T 2 x . 在泛函分析中往往把两个等距同构的度量空间不加区别而视为同一个度 量空间