作 物 学 报 第32卷 需要指出的是，式())并不是普骗成立的。一种 接危害。 21不能精确估计回归参数 一或某些列元素正好是另一或另一些列元素的线 回归系数的误差均方为 性函数。这称为共线性或多重共线性(collinearity o V(b,)=s'c multicollinearity),X的共线性必然导致XX的列间 上式的2为离回归均方，c为(XX)·1中的主对角 和行间存在共线性，并使X'X为奇异(singular),即 线（第i行i列）元素。故(XX)的膨胀必使回归 其行列式值为0 系数具有很大的误差，导致本来可能较好配合的回 det('x)=0 (3) 归模型知配合失败 由于在计算待解元b时，都要用到以d(XX)为除 例1设有以下资料： 数，故当式(3)成立时，X'X将无逆，b将无解，或者 44777171 说无确定解。 X21616494950.4151.41 以上结论在数学上可能是早已明确的，但应用 Y192037393638 上仍常被忽视。例如近年一些学者建议的复杂遗传 用二元回归模型E()=。+月，X+2X进行配合 模型（即X矩阵）就存在明显的共线性。这类模型 [此例X,=X,故也可以说用多项式回归模型E(Y) 如果不添加限制条件，就不可能进行常规的回归分 析。 =民+月X+品，X作配合，结果相同]。这里的 在回归分析中，还存在近似于但不同于式(3)的 4 16 191 另一类情况，即虽然det(X'x)≠0，但近于0 16 > det(X'X) 49 X= Y 符合式(4)的XX,通常称为病态矩阵或近奇异矩 1 7 49 2079 阵。病态矩阵是由X的列间存在高度的线性依 7.1 50.41 赖引起的，它对回归分析的影响尚缺少研究。本文 7.1 50.41 38 试图从应用统计学角度，研讨病态矩阵的问题以及 由之得正规方程组和解为 如何发现XX为病态而做出相应改进的方法，供应 6 36.2 230.82 189.0 用回归分析的研究者参考。 36.2 230.82 1529.822 6, 1213.4 由于回归资料数量级的千差万别，“近于0”的 1230.83 1529.822 10396.3362 .b2 8078.34 数量界限至今尚不明确。在数学专业文献中，亦只 b XY 是将方程组“参数的小改变会引起解的大改变”定义 为病态矩阵们，并未涉及“大”和“小”的具体界限 8574.1602 -3357.8456 303.74341 189.0 -3357.8456 1315.1877 -118.9789 1213.4 为便于分析研究，本文提出的建议标准为，当X'X 中的元素以标准化变量一线性相关系数，表示时 303.7434 ,118.9789 10.7641 8078.34 (即将XX变换为相关矩阵R)刀，若 (Xx)- XY det(R)=0+0.01 (5 -151.18631 即在-0.01-0.01区间内但非0，可认为“近于0” 63.5315 对应于该R的XX为病态：若 -5.2150」 det(R)=0±0.000 (6 即在-0.0001-0.0001区间内但非0，则认为“非常 即有二元回归方程V= -151.1863+65.5315X 近于0”，对应于该R的X'X为严重病态。de(R)> 5.2150X,。其有关标准误为s。=113.4078,s, 10.011的XX则视为良态”。 4.4162,5=4.0182:二元决定系数为R2=0.9897。 上述结果表明，本例X和X,的变异已能说明 2病态矩阵的问题 Y变异的98.97%，但bb,和b2都与0无显著若 病态矩阵只是近于奇异，故仍能进行回归分析 异，即上述二元回归无显著意义。进一步分析可知， 但结果不可靠。这主要由于d(XX)为小值，而对 上述结果正是源于X中X,和X2的高度线性依赖 XX求逆时必须用到该小值为除数，因而造成(X 其r=0.99996937,导敛d(R)=0.6125×10-,XX x)中元索联棉的极度“膨胀”。由之产生以下直 具有严重病态。需要指出的是，式（!）并不是普遍成立的。一种 例外情形是 ! 的列间存在完全的线性依赖，即它的 某一或某些列元素正好是另一或另一些列元素的线 性函数。这称为共线性或多重共线性（"#$$%&’()%*+ #) ,-$*%"#$$%&’()%*+）。 ! 的共线性必然导致 !. ! 的列间 和行间存在共线性，并使 !. ! 为奇异（/%&0-$()），即 其行列式值为 1 ［2］ 3’（* !.!）4 1 （5） 由于在计算待解元 " 时，都要用到以 3’（* !.!）为除 数，故当式（5）成立时，!. ! 将无逆，" 将无解，或者 说无确定解。 以上结论在数学上可能是早已明确的，但应用 上仍常被忽视。例如近年一些学者建议的复杂遗传 模型（即 ! 矩阵）就存在明显的共线性。这类模型， 如果不添加限制条件，就不可能进行常规的回归分 析［6］ 。 在回归分析中，还存在近似于但不同于式（5）的 另一类情况，即虽然 3’（* !.!）!1，但近于 1 3’（* !.!）" 1 （2） 符合式（2）的 !. !，通常称为病态矩阵或近奇异矩 阵［6，7］ 。病态矩阵是由 ! 的列间存在高度的线性依 赖引起的，它对回归分析的影响尚缺少研究。本文 试图从应用统计学角度，研讨病态矩阵的问题以及 如何发现 !.! 为病态而做出相应改进的方法，供应 用回归分析的研究者参考。 由于回归资料数量级的千差万别，“近于 1”的 数量界限至今尚不明确。在数学专业文献中，亦只 是将方程组“参数的小改变会引起解的大改变”定义 为“病态矩阵”［7］ ，并未涉及“大”和“小”的具体界限。 为便于分析研究，本文提出的建议标准为，当 !. ! 中的元素以标准化变量—线性相关系数 ! 表示时 （即将 !.! 变换为相关矩阵 #）［8］ ，若 3’（* #）4 1 9 1 :1; （6） 即在 < 1 :1; = 1 :1; 区间内但非 1，可认为“近于 1”， 对应于该 # 的 !.! 为病态；若 3’（* #）4 1 9 1 :111; （7） 即在 < 1 :111; = 1 :111; 区间内但非 1，则认为“非常 近于 1”，对应于该 # 的 !.! 为严重病态。3’（* #）> ? 1 :1; ? 的 !.! 则视为“良态”。 ! 病态矩阵的问题 病态矩阵只是近于奇异，故仍能进行回归分析， 但结果不可靠。这主要由于 3’（* !. !）为小值，而对 !.! 求逆时必须用到该小值为除数，因而造成（ !. !）< ; 中元素取值的极度“膨胀”。由之产生以下直 接危害。 ! "# 不能精确估计回归参数 回归系数的误差均方为［8］ "（ #$）4 % ! &$$ 上式的 % ! 为离回归均方，&$$ 为（ !. !）< ; 中的主对角 线（第 $ 行 $ 列）元素。故（ !. !）< ; 的膨胀必使回归 系数具有很大的误差，导致本来可能较好配合的回 归模型却配合失败。 例 # 设有以下资料： ’; 2 2 8 8 8 @; 8 @; ’! ;7 ;7 2A 2A 61 @2; 6; @2; ( ;A !1 58 5A 57 5B 用二元回归模型 C（ (）4!1 D!; ’; D!! ’! 进行配合 ［此例 ’! 4 ’! ;，故也可以说用多项式回归模型 C（ (） 4!1 D!; ’; D!! ’! ; 作配合，结果相同］。这里的 ! 4 ; 2 ;7 ; 2 ;7 ; 8 2A ; 8 2A ; 8 :; 61 :2;                  ; 8 :; 61 :2;  $ 4 ;A !1 58 5A 57                  5B  由之得正规方程组和解为 7 57:! !51:B! 57:! !51:B! ;6!A:B!!          !51 @B5 ;6!A @B!! ;15A7:557! #1 #; #           ! 4 ;BA:1 ;!;5:2          B18B:52  !.! " 4 !.$ #1 #; #           ! 4 B682 @;71! < 5568 @B267 515 @8252 < 5568 @B267 ;5;6 @;B88 < ;;B @A8BA 515 @8252 <          ;;B @A8BA ;1 @872;  ;BA:1 ;!;5:2          B18B:52  " 4 （ !.!）< ; !.$ 4 < ;6; :;B75 75 :65;6 <          6 :!;61  即有 二 元 回 归 方 程 ( E 4 < ;6; :;B75 D 76 :65;6 ’; < 6 :!;61 ’!。其 有 关 标 准 误 为 %#1 4 ;;5 :218B，%#; 4 22 :2;7!，%#! 4 2 :1;B!；二元决定系数为 )! 4 1 :ABA8。 上述结果表明，本例 ’; 和 ’! 的变异已能说明 ( 变异的 AB @ A8F，但 #1、#; 和 #! 都与 1 无显著差 异，即上述二元回归无显著意义。进一步分析可知， 上述结果正是源于 ! 中 ’; 和 ’! 的高度线性依赖， 其 ! 4 1 :AAAA7A58，导致 3’（* #）4 1 :7;!6 G ;1 < 2，!.! 具有严重病态。 ! 作 物 学 报 第 5! 卷 万方数据