作物学报 Val.32,o.1 1-6页 ACTA AGRONOMICA SINICA m1-6Jan.,2006 回归分析中的病态矩阵及其改进 莫惠栋 (扬州大学数量遗传研究室，江苏扬州25009 摘要：在回归分析中，信息矩阵XX的行列式值(XX)如果近于0，就会造成其逆阵(XX)~的极度膨胀，进而大大 增加回归系数的误差均方，影响回归配合的稳健性和精确度。因而d(X'X近于0的XX被称为“病态矩阵”。本文提 出以X变数的相关矩阵R的行列式值为综合指标，当d(R)在区间[-0.01,0.01]和[-0.0001,0.0001]但非0时，可分 别认为其对应的XX是“病态的”和“严重病态的”。X”X的病态源于X矩阵的高度列依赖，可用简单相关系数、多重法 定系数和状态指数度量其列依赖程度。为了改进或消除XX的病态，建议选用(1)简化原回归模型，(2)增加新的资料 (3)对回归系数添加限制条件，(4)采用诸如脊回归、广义逆M-国归等非常规回归程序。简要讨论了病态诊断的重要性 和病态改进的评价。 关健词：回归分析：病态矩阵：病态的诊断和改进 中图分类号：0332：11·4 Ill-conditioned Matrix and Its Improvement in Regression MO Hui-Dong Abstract:Inre ion analys the ation matrix is an important factor be of b the determinant value of X',det(),is close to zero the inverse of the'()will extremely inflate,the error mean square for regression coefficient will largely increase and in consequence the regression fitting will be poor robustness and low precision.Thus the matrix X'K of det('x)0 is called "ill-conditioned matrix".In this paper the determinant value of correlative matrix R of A variables,det(R),is used as a synthetic index for ill-conditioning,i.e.if the det (R)lies in the intervals[-0.01.0.01]and[-0.0001,0.0001]but the matrix 'r can be earded as ill-conditioned and se ously ill-conditioned The ill- ed X'X sults in Y Thre eria tipl in e depend ey.In the ill-c ng of four methods e (1)to reduce the original re (2)to collect the new data,(3)to add the restrictive condition for regression coefficients and (4)to adopt the non-customary regression procedure such as the ridge regression and the generalized inverseM sion,are suggested.The importance of diagnosing the ill- conditioning and the evaluation for improved ill-conditioning are also discussed briefly. Key words:Regression analysis:Ill-conditioned matrix:Diagnosis and improvement of ill-conditioning 式(1)和(2)中的X为自变数的n×m(表示m行 1奇异矩阵和病态矩阵 列，下同)矩阵：X为X的转置矩阵：XX为对称的 m×m方阵：(XX)·1为X"X的逆阵：y为依变数的 线性回归分析的正规方程组可写成 n×1向量：b为待解元的m×1向量。这里的n为 XXb-XY (1) 观察值组数，m为待估计的回归系数数。在试验统 其最小平方解则为 计和数量遗传学科，往往特称以上的X为模型矩阵 b=(XXXY (2) 或设计矩阵，XX为信息矩阵 主物绕计学和数量遗传
!"#$%&，’"$( ))$ ( * + ,-.$，&//+ 作 物 学 报 0120 0345’56710 87’710 第 %& 卷 第 ( 期 &//+ 年 ( 月 ( 9 + !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 页 回归分析中的病态矩阵及其改进 莫惠栋" （扬州大学数量遗传研究室，江苏扬州 &&://;） 摘 要：在回归分析中，信息矩阵 !（? !（? !（? "）在区间［ * /$/(，/$/(］和［ * /$///(，/$///(］但非 / 时，可分 别认为其对应的 ! 3>.>?EOP，Q-.HRS"D T.EN>KPE?L，Q-.HRS"D &&://;，,E-.HPD，1SE.-） 56/)-,$)：7. K>HK>PPE". -.-#LPEP，?S> E.M"KU-?E". U-?KEV !O-DP> "M $ W（ ! =>?>KUE.-.? N-#D> "M !（? ! ?" R>K" ，?S> E.N>KP> "M ?S> !V?K>U>#L E.M#-?>，?S> >KK"K U>-. PZD-K> M"K K>HK>PPE". O">MMEOE>.? YE## #-KH>#L E.OK>-P>，-.= E. O".P>ZD>.O> ?S> K>HK>PPE". ME??E.H YE## J> )""K K"JDP?.>PP -.= #"Y )K>OEPE". X 2SDP ?S> U-?KEV !（? !=“E##FO".=E?E".>= U-?KEV”X 7. ?SEP )-)>K ?S> =>?>KUE.-.? N-#D> "M O"KK>#-?EN> U-?KEV " "M ! N-KE-J#>P，=>（? "），EP DP>= -P - PL.?S>?EO E.=>V M"K E##FO".=E?E".E.H，E X > X EM ?S> =>（? "）#E>P E. ?S> E.?>KN-#［P / $/(，/ $/(］-.=［ / $///(，/ $///(］JD? .".R>K"， ?S> O"KK>P)".=E.H U-?KEV ! K>H-K=>= -P E##FO".=E?E".>= -.= P>KE"DP#L E##FO".=E?E".>=， K>P)>O?EN>#LX 2S> E##FO".=E?E".>= !PD#?P MK"U ?S> #E.>-K =>)>.=>.OL -U".H O"#DU.P E. ! U-?KEV X 2SK>> =E-H."P?EO OKE?>KE-，E.O#D=E.H #E.>-K O"KK>#-?E". O">MMEOE>.?，UD#?E)#> =>?>KUE.-?E". O">MMEOE>.? -.= O".=E?E". E.=>V， O-. U>-PDK> ?S> =>HK>> "M ?S> O"#DU. =>)>.=>.OL X 7. "K=>K ?" EU)K"N> "K >#EUE.-?> ?S> E##FO".=E?E".E.H "M !?S"=P，E X > X（(）?" K>=DO> ?S> "KEHE.-# K>HK>PPE". U"=>#，（&）?" O"##>O? ?S> .>Y =-?-，（%）?" -== ?S> K>P?KEO?EN> O".=E?E". M"K K>HK>PPE". O">MMEOE>.?P -.=（@）?" -=")? ?S> .".FODP?"U-KL K>HK>PPE". )K"O>=DK> PDOS -P ?S> KE=H> K>HK>PPE". -.= ?S> H>.>K-#ER>= E.N>KP># * K>HK>PPE".，-K> PDHH>P?>= X 2S> EU)"K?-.O> "M =E-H."PE.H ?S> E##F O".=E?E".E.H -.= ?S> >N-#D-?E". M"K EU)K"N>= E##FO".=E?E".E.H -K> -#P" =EPODPP>= JKE>M#L X 7*8 9%-’/：4>HK>PPE". -.-#LPEP；7##FO".=E?E".>= U-?KEV；GE-H."PEP -.= EU)K"N>U>.? "M E##FO".=E?E".E.H : 奇异矩阵和病态矩阵 线性回归分析的正规方程组可写成 !O>EN>（=万方数据 收稿日期）：&//:F/&F/&；0OO>)?>（= 接受日期）：&//:F/:F(^$
作 物 学 报 第32卷 需要指出的是，式())并不是普骗成立的。一种 接危害。 21不能精确估计回归参数 一或某些列元素正好是另一或另一些列元素的线 回归系数的误差均方为 性函数。这称为共线性或多重共线性(collinearity o V(b,)=s'c multicollinearity),X的共线性必然导致XX的列间 上式的2为离回归均方，c为(XX)·1中的主对角 和行间存在共线性，并使X'X为奇异(singular),即 线（第i行i列）元素。故(XX)的膨胀必使回归 其行列式值为0 系数具有很大的误差，导致本来可能较好配合的回 det('x)=0 (3) 归模型知配合失败 由于在计算待解元b时，都要用到以d(XX)为除 例1设有以下资料： 数，故当式(3)成立时，X'X将无逆，b将无解，或者 44777171 说无确定解。 X21616494950.4151.41 以上结论在数学上可能是早已明确的，但应用 Y192037393638 上仍常被忽视。例如近年一些学者建议的复杂遗传 用二元回归模型E()=。+月，X+2X进行配合 模型（即X矩阵）就存在明显的共线性。这类模型 [此例X,=X,故也可以说用多项式回归模型E(Y) 如果不添加限制条件，就不可能进行常规的回归分 析。 =民+月X+品，X作配合，结果相同]。这里的 在回归分析中，还存在近似于但不同于式(3)的 4 16 191 另一类情况，即虽然det(X'x)≠0，但近于0 16 > det(X'X) 49 X= Y 符合式(4)的XX,通常称为病态矩阵或近奇异矩 1 7 49 2079 阵。病态矩阵是由X的列间存在高度的线性依 7.1 50.41 赖引起的，它对回归分析的影响尚缺少研究。本文 7.1 50.41 38 试图从应用统计学角度，研讨病态矩阵的问题以及 由之得正规方程组和解为 如何发现XX为病态而做出相应改进的方法，供应 6 36.2 230.82 189.0 用回归分析的研究者参考。 36.2 230.82 1529.822 6, 1213.4 由于回归资料数量级的千差万别，“近于0”的 1230.83 1529.822 10396.3362 .b2 8078.34 数量界限至今尚不明确。在数学专业文献中，亦只 b XY 是将方程组“参数的小改变会引起解的大改变”定义 为病态矩阵们，并未涉及“大”和“小”的具体界限 8574.1602 -3357.8456 303.74341 189.0 -3357.8456 1315.1877 -118.9789 1213.4 为便于分析研究，本文提出的建议标准为，当X'X 中的元素以标准化变量一线性相关系数，表示时 303.7434 ,118.9789 10.7641 8078.34 (即将XX变换为相关矩阵R)刀，若 (Xx)- XY det(R)=0+0.01 (5 -151.18631 即在-0.01-0.01区间内但非0，可认为“近于0” 63.5315 对应于该R的XX为病态：若 -5.2150」 det(R)=0±0.000 (6 即在-0.0001-0.0001区间内但非0，则认为“非常 即有二元回归方程V= -151.1863+65.5315X 近于0”，对应于该R的X'X为严重病态。de(R)> 5.2150X,。其有关标准误为s。=113.4078,s, 10.011的XX则视为良态”。 4.4162,5=4.0182:二元决定系数为R2=0.9897。 上述结果表明，本例X和X,的变异已能说明 2病态矩阵的问题 Y变异的98.97%，但bb,和b2都与0无显著若 病态矩阵只是近于奇异，故仍能进行回归分析 异，即上述二元回归无显著意义。进一步分析可知， 但结果不可靠。这主要由于d(XX)为小值，而对 上述结果正是源于X中X,和X2的高度线性依赖 XX求逆时必须用到该小值为除数，因而造成(X 其r=0.99996937,导敛d(R)=0.6125×10-,XX x)中元索联棉的极度“膨胀”。由之产生以下直 具有严重病态
需要指出的是，式（!）并不是普遍成立的。一种 例外情形是 ! 的列间存在完全的线性依赖，即它的 某一或某些列元素正好是另一或另一些列元素的线 性函数。这称为共线性或多重共线性（"#$$%&’()%*+ #) ,-$*%"#$$%&’()%*+）。 ! 的共线性必然导致 !. ! 的列间 和行间存在共线性，并使 !. ! 为奇异（/%&0-$()），即 其行列式值为 1 ［2］ 3’（* !.!）4 1 （5） 由于在计算待解元 " 时，都要用到以 3’（* !.!）为除 数，故当式（5）成立时，!. ! 将无逆，" 将无解，或者 说无确定解。 以上结论在数学上可能是早已明确的，但应用 上仍常被忽视。例如近年一些学者建议的复杂遗传 模型（即 ! 矩阵）就存在明显的共线性。这类模型， 如果不添加限制条件，就不可能进行常规的回归分 析［6］ 。 在回归分析中，还存在近似于但不同于式（5）的 另一类情况，即虽然 3’（* !.!）!1，但近于 1 3’（* !.!）" 1 （2） 符合式（2）的 !. !，通常称为病态矩阵或近奇异矩 阵［6，7］ 。病态矩阵是由 ! 的列间存在高度的线性依 赖引起的，它对回归分析的影响尚缺少研究。本文 试图从应用统计学角度，研讨病态矩阵的问题以及 如何发现 !.! 为病态而做出相应改进的方法，供应 用回归分析的研究者参考。 由于回归资料数量级的千差万别，“近于 1”的 数量界限至今尚不明确。在数学专业文献中，亦只 是将方程组“参数的小改变会引起解的大改变”定义 为“病态矩阵”［7］ ，并未涉及“大”和“小”的具体界限。 为便于分析研究，本文提出的建议标准为，当 !. ! 中的元素以标准化变量—线性相关系数 ! 表示时 （即将 !.! 变换为相关矩阵 #）［8］ ，若 3’（* #）4 1 9 1 :1; （6） 即在 ? 1 :1; ? 的 !.! 则视为“良态”。 ! 病态矩阵的问题 病态矩阵只是近于奇异，故仍能进行回归分析， 但结果不可靠。这主要由于 3’（* !. !）为小值，而对 !.! 求逆时必须用到该小值为除数，因而造成（ !. !）< ; 中元素取值的极度“膨胀”。由之产生以下直 接危害。 ! "# 不能精确估计回归参数 回归系数的误差均方为［8］ "（ #$）4 % ! &$$ 上式的 % ! 为离回归均方，&$$ 为（ !. !）< ; 中的主对角 线（第 $ 行 $ 列）元素。故（ !. !）< ; 的膨胀必使回归 系数具有很大的误差，导致本来可能较好配合的回 归模型却配合失败。 例 # 设有以下资料： ’; 2 2 8 8 8 @; 8 @; ’! ;7 ;7 2A 2A 61 @2; 6; @2; ( ;A !1 58 5A 57 5B 用二元回归模型 C（ (）4!1 D!; ’; D!! ’! 进行配合 ［此例 ’! 4 ’! ;，故也可以说用多项式回归模型 C（ (） 4!1 D!; ’; D!! ’! ; 作配合，结果相同］。这里的 ! 4 ; 2 ;7 ; 2 ;7 ; 8 2A ; 8 2A ; 8 :; 61 :2; ; 8 :; 61 :2; $ 4 ;A !1 58 5A 57 5B 由之得正规方程组和解为 7 57:! !51:B! 57:! !51:B! ;6!A:B!! !51 @B5 ;6!A @B!! ;15A7:557! #1 #; # ! 4 ;BA:1 ;!;5:2 B18B:52 !.! " 4 !.$ #1 #; # ! 4 B682 @;71! < 5568 @B267 515 @8252 < 5568 @B267 ;5;6 @;B88 < ;;B @A8BA 515 @8252 < ;;B @A8BA ;1 @872; ;BA:1 ;!;5:2 B18B:52 " 4 （ !.!）< ; !.$ 4 < ;6; :;B75 75 :65;6 < 6 :!;61 即有 二 元 回 归 方 程 ( E 4 < ;6; :;B75 D 76 :65;6 ’; < 6 :!;61 ’!。其 有 关 标 准 误 为 %#1 4 ;;5 :218B，%#; 4 22 :2;7!，%#! 4 2 :1;B!；二元决定系数为 )! 4 1 :ABA8。 上述结果表明，本例 ’; 和 ’! 的变异已能说明 ( 变异的 AB @ A8F，但 #1、#; 和 #! 都与 1 无显著差 异，即上述二元回归无显著意义。进一步分析可知， 上述结果正是源于 ! 中 ’; 和 ’! 的高度线性依赖， 其 ! 4 1 :AAAA7A58，导致 3’（* #）4 1 :7;!6 G ;1 < 2，!.! 具有严重病态。 ! 作 物 学 报 第 5! 卷 万方数据
第1期 莫惠栋：回归分析中的病态矩阵及其改进 2.2约数误差可能左右分析结果 3.1相关系数法 约数误差(roundoff error)是指统计运算过程中 计算x矩阵的任一X列和X列(i≠)的线性 因中间数字的有效位数不足而造成背离应有意义的 相关系数r或决定系数2。X,和X列的，=±1为 结果。例如计算10x=(alb)-（cld),设a= 完全线性依赖，=0为完全独立。作者认为，如1r 10000,b=0.03,c=16666.6663,d=0.05,中间数字 >0.99应视为两列间有高度线性依赖，必导致X" 均保持8位，则(a1b)=333333.33,(c1d)= 是现病本。此方法最篇单，但不能提供若干列间 333333.33,x=0:但较精确结果却是10°x=（ad- 杂依赖的信息，即不能发现多重的共线性：而小的 bc)/bd=(500-499.999989)/0.0015=0.007333,x 1,值也不一定表示不存在共线性。 =7333!在回归分析中，当作为除数的de(XX)=0 3.2 多元决定系数法 时，极易发生类似以上的约数误差。所以Freund在 若定义：是X矩阵的X,列依其他(m-1)列 检查了大量回归资料后曾警告说，许多合理的结论 X(≠i)的(m-1)元决定系数，则当XX可逆时可 有时完全是由变化无常的约数误差造成)。 以证明： 在实践上，人们常用“双精度算法”以减少约数 R:=1-1/c (7) 误差的干扰。研究认为，双精度使计算机工作的数 式(7)的c:为X的相关矩阵R逆阵R的主对角线 字密度比通常加倍，如作为标准技术将浪费时间，而 元素。当X列独立于所有X,列时=1，并随着X 且也不是必须的谨慎：只要XX存在病态，约数误 列对所有X列线性依赖程度的增加而增大，直至完 差仍会常常发生5。所以，关键还是在于发现矩阵 全依赖时c。→ 病态和改进病态矩阵。 例2 Mather和Jinks的6世代加性-显性.上位 性遗传模型的设计矩阵x及其相关矩阵R为 3矩阵病态的诊断 1 0 0 前述d(R)是度量X'X矩阵全体共线性程度 1-1 0 1 0 0 的一个综合指标。X'X的病态源于X中的高度列 0 1 0 X= 依赖，必须具体检查X矩阵，才能发现不同列间的 10 1/2 0 0 线性依赖程度。这称为X矩阵的病态诊断，基本方 112 1/2 1414 14 法如下。 1/214 14 14 0 0 0 0 0 0 0.447214 0 0 0 1 -0.903738 0 0.932568 R= -0.903738 0 0.705431 00.447214 0 0 0 0 0.932568 -0.932568 由R可求得其行列式值dt(R)=0.004009,表明该 间的1r1都不大于0.94，不足以直接导致XX呈病 模型的信息矩阵XX是病态的。但乙的任何两列 态。由R可得其逆阵R为 0 0 0 0 0 1.25 -0.559018 0 100.22996849.055972 0 -58.865651 R= 0 0 49.055972 26.000242 0 -27.406641 0 -0.559018 0 0 1.25 0 58.865651 27.406641 0 36.562729 故根据式(7)进而得R=1-11=0,R=1-1/1.25= 0.961539,R=0.2和R%=0.972650。这表明X中 0.2,R店方额据10.229968=0.9023.R= 的第1列完全独立于其余5列，第2列变异则有
! "! 约数误差可能左右分析结果 约数误差（!"#$%"&& ’!!"!）是指统计运算过程中 因中间数字的有效位数不足而造成背离应有意义的 结果。 例 如 计 算 ()* ! +（ ", # ）-（ $, % ），设 " + ())))，# + ) . )/，$ + (**** . ***/，% + ) 0)1，中间数字 均保 持 2 位，则（ ", # ）+ ////// 0//，（ $, % ）+ ////// 0//，! + )；但较精确结果却是 ()* ! +（ "% - #$）, #% +（ 1)) - 344 0444424）,) 0))(1 + ) 0))5///，! + 5///！在回归分析中，当作为除数的 %’（6 !7!）!) 时，极易发生类似以上的约数误差。所以 8!’#$% 在 检查了大量回归资料后曾警告说，许多合理的结论 有时完全是由变化无常的约数误差造成［2］ 。 在实践上，人们常用“双精度算法”以减少约数 误差的干扰。研究认为，双精度使计算机工作的数 字密度比通常加倍，如作为标准技术将浪费时间，而 且也不是必须的谨慎；只要 !7 ! 存在病态，约数误 差仍会常常发生［1］ 。所以，关键还是在于发现矩阵 病态和改进病态矩阵。 # 矩阵病态的诊断 前述 %’（6 "）是度量 !7 ! 矩阵全体共线性程度 的一个综合指标。 !7 ! 的病态源于 ! 中的高度列 依赖，必须具体检查 ! 矩阵，才能发现不同列间的 线性依赖程度。这称为 ! 矩阵的病态诊断，基本方 法如下。 # "$ 相关系数法 计算 ! 矩阵的任一 &’ 列和 &( 列（ ’" (）的线性 相关系数 ) 或决定系数 ) 9。 &’ 和 &( 列的 ) + : ( 为 完全线性依赖，) + ) 为完全独立。作者认为，如 ; ) ; ?6@’! 和 AB$CD 的 * 世代加性E 显性E 上位 性遗传模型的设计矩阵 ! ［4］ 及其相关矩阵 " 为 ! + ( ( ) ( ) ) ( - ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ( ) (,9 ) ) (,3 ( (,9 (,9 (,3 (,3 (,3 ( -(,9 (,9 - (,3 (,3 (,3 " + ( ) ) ) ) ) ) ( ) ) ) .3359(3 ) ) ) ( - ) .4)/5/2 ) ) .4/91*2 ) ) - ) .4)/5/2 ( ) - ) .5)13/( ) ) .3359(3 ) ) ( ) ) ) ) .4/91*2 - ) .4/91*2 ) ( 由 " 可求得其行列式值 %’（6 "）+ ) 0))3))4，表明该 模型的信息矩阵 !7 ! 是病态的。但 # 的任何两列 间的 ; ) ; 都不大于 ) . 43，不足以直接导致 !7 ! 呈病 态。由 " 可得其逆阵 " - (为 " + ( ) ) ) ) ) ) ( .91 ) ) - ) .114)(2 ) ) ) ()) .9944*2 34 .)11459 ) - 12 .2*1*1( ) ) 34 .)11459 9* .)))939 ) - 95 .3)**3( ) - ) .114)(2 ) ) ( .91 ) ) ) - 12 .2*1*1( - 95 .3)**3( ) /* .1*9594 故根据式（5）进而得 *9 ( + ( - (,( + )，*9 9 + ( - (,(091 + ) 09，*9 / + ( - (,()) . 9944*2 + ) 044))9/，*9 3 + ) 04*(1/4，*9 1 + ) 09 和 *9 * + ) 0459*1)。这表明 ! 中 的第 ( 列 完 全 独 立 于 其 余 1 列，第 9 列 变 异 则 有 第 ( 期 莫惠栋：回归分析中的病态矩阵及其改进 / 万方数据
作 物」 报 第32卷 20%可为其余5列的变异所说明，第3列变异则有 对之作状态指数分析得表1结果（具体过程见文献 99.0023%可为其余5列的变异所说明，等等。以第 [10])。在表1中，=5799时的9=9s=1,清楚 3列对其余5列的线性依赖度最高，其次为第6列。 地表明X中的X,和X,(第4和第5列)为完全线性 多元决定系数法对于评价X的某一列对其余 依赖：而4=16的94=924=0.994和94=0.95 (m-1)列的线性依赖程度很有效，但不能反映多列 则表明X,、X2和X,的高线性依赖。可以验证此结 与多列间的线性依赖度 果：用决定系数法求得上述10X中X,和X,的2 3.3状态指数法 1,X依X2和X,的R2=0.982,表明X和X,可相 此法由Belsley最先提出o,被认为是评价多列 互说明100%的变异，而X,的变异则有98.2%可被 间线性依赖度的最有效方法幻。它包括计算X中 X,和X,的变异所说明。这与表1结果相符。 各列的状态指数和分解回归系数方差的构成？： 表1 应用状态指数法评价X矩阵列间的性依赖度 两个部分。 Eval ence degr nong colum 3.3.1计算状态指数 以列平衡的(columnequ X matrix by condition index -ilibrate)X.矩阵（即X的每列元素均除以该列平 状态指数· (6)的比率g,portions,d(与) 方和的根值或标准差)为基础，作奇异值分解，得到 (.) v(b) () X.x=U.xDV' (8) 0.000 0.000 0.000 0.00 0.000 式(8)中的D.x。为对角阵，即 :■1 0.00 0.00s 0.00 0.00 0.00 Da。=diag(41'42…,Hn） (9 0.001 0.00 0.04 0.0 其中=1,2，，m)为X第j列的奇异值，且非 =16 79 负。由之可得m个状态指数 .000 .000 1.000 (10) the 式(10)中的4为%中的最大值。片，愈近于0， 将愈大，表示X列间的线性依赖度愈高。 4病态矩阵的改进 3.3.2分解回归系数方差V(b)的构成 当XX 可逆时， 改进或消除病态矩阵的病态，可能有多种方法， 较为普适者如下。 G-2V(B)=(X'X)-1=VD-2V (11) 对于第i个回归系数6，则 4.1简化原来的回归模型 当发现X任两列的1≥0.99或第i列依其余 +…+ 各列的R≥0.99时，表明原回归模型存在过参数 erization)情形，应毫不犹豫地删除第i列 =g+a++.手12 及与之关联的，。这时，X对Y的总回归决定度几 以上为V中的第i行列元素，9，为(b:)属于 乎不变，但XX的病态却可消除。这是改进病态最 直截了当的方法。 状态指数的成数（比率），具有9：≥0和三9：=1。 例4已知例1资料的X,和X2列的r>0.99。 X列间的线性依赖由和，推断，大的表示高 若别去X:列，即改用回归模型E(了)=凡+月，X,配 线性依赖，而该行的大？，则表示高线性依赖的列 合，则 (回归系数)。 x-47771 11 例3设有经过列平衡处理的X矩阵 -733 553 430 -3 -3 Y=[192037393638] 139 -477 501 3 由以上X和y可得回归方程=-4.0293 -498 10X= 654 -119 47 47 5.8888X1和5m=2.3332,51=0.3762,Y依X的线 -119 456 -716 252 252 性回归为极显著。应注意，本例的Y依X的线性决 30 55 -167 816 -816 定系数r2=0.9839,与例1的二元决定系数R 万方0据 -83 5 518 518 0.9897仅相差0.0058，表明别除X对回归预测的
!"#可为其余 $ 列的变异所说明，第 % 列变异则有 && ’""!%#可为其余 $ 列的变异所说明，等等。以第 % 列对其余 $ 列的线性依赖度最高，其次为第 ( 列。 多元决定系数法对于评价 ! 的某一列对其余 （ ! ) *）列的线性依赖程度很有效，但不能反映多列 与多列间的线性依赖度。 ! "! 状态指数法 此法由 +,-.-,/ 最先提出［*"］ ，被认为是评价多列 间线性依赖度的最有效方法［$］ 。它包括计算 ! 中 各列的状态指数!" 和分解回归系数方差的构成 #$" 两个部分。 % 0% 0* 计算状态指数!" 以列平衡的（12-345,63 78-89:; "% = ! #! = ! $? ! = ! （@） 式（@）中的 #! = ! 为对角阵，即 #! = ! > A8;（B "*，"!，…，"!） （&） 其中"（" " > *，!，…，!）为 ! 第 " 列的奇异值，且非 负。由之可得 ! 个状态指数 !" > "4;C D "" （*"） 式（*"）中的"4;C为 "" 中的最大值。"" 愈近于 "，!" 将愈大，表示 &" 列间的线性依赖度愈高。 % 0% 0! 分解回归系数方差 ’（ %）的构成 当 !?! 可逆时， #) ! ’（ %）>（ !?!）) * > $#) ! $? （**） 对于第 $ 个回归系数 ($ 则 #) ! ’（ ($）> ) ! $* " ! * E ) ! $! " ! ! E … E ) ! $! " ! ! >（ #$* E #$! E … E #$!）! ! " > * ) ! $" " ! " （*!） 以上 )$" 为 $! = ! 中的第 $ 行 " 列元素，#$" 为 ’（ ($）属于 状态指数!" 的成数（比率），具有 #$" "" 和! ! " > * #$" > *。 ! 列间的线性依赖由!" 和 #$" 推断，大的 !" 表示高 线性依赖，而该!" 行的大 #$" 则表示高线性依赖的列 （回归系数）。 例 ! 设有经过列平衡处理的 ! 矩阵［*"］ *"% ! > ) F%% $$% G%" ) % ) % *%& ) GFF $"* % % ($G ) G&@ ) **& GF GF ) **& G$( ) F*( !$! !$! %" $$ ) *(F ) @*( ) @*( G" ) @% &$ $*@ $*@ 对之作状态指数分析得表 * 结果（具体过程见文献 ［*"］）。在表 * 中，!$ > $F&& 时的 #G$ > #$$ > *，清楚 地表明 ! 中的 &G 和 &（$ 第 G 和第 $ 列）为完全线性 依赖；而 !G > *( 的 #*G > #!G > " ’&&G 和 #%G > " ’&$% 则表明 &*、&! 和 &% 的高线性依赖。可以验证此结 果：用决定系数法求得上述 *" % ! 中 &G 和 &$ 的 * ! > *，&* 依 &! 和 &% 的 +! > " ’&@!，表明 &G 和 &$ 可相 互说明 *""#的变异，而 &* 的变异则有 &@ 0 !# 可被 &! 和 &% 的变异所说明。这与表 * 结果相符。 表 # 应用状态指数法评价 ! 矩阵列间的线性依赖度 $%&’( # )*%’+%,-./ ,0( ’-.(%1 2(3(.2(.4( 2(/1(( %56./ 46’+5.7 68 ! 5%,1-9 &: 46.2-,-6. -.2(9 状态指数# H25A8 * " 0 """ " 0 """ " 0 """ " 0 """ " 0 """ !! > * " 0 ""$ " 0 ""$ " 0 """ " 0 """ " 0 """ !% > * " 0 ""* " 0 ""* " 0 "GF " 0 """ " 0 """ !G > *( " 0 &&G " 0 &&G " 0 &$% " 0 """ " 0 """ !$ > $F&& " 0 """ " 0 """ " 0 """ * 0 """ * 0 """ L34 * 0 """ * 0 """ * 0 """ * 0 """ * 0 """ 注：# 取约整数。 M2$" E$* &* 配 合，则 !? > * * * * * * [ ] G G F F F ’* F ’* &? >［*& !" %F %& %( %@］ 由以上 ! 和 & 可得回归方程 , U > ) G ’"!&% E $ ’@@@@ &* 和 -(" > ! ’%%%!，-(* > " ’%F(!，, 依 & 的线 性回归为极显著。应注意，本例的 , 依 & 的线性决 定系数 * ! > " ’&@%&，与例 * 的二元决定系数 +! > " ’&@&F 仅相差 " 0 ""$@，表明删除 &! 对回归预测的 G 作 物 学 报 第 %! 卷 万方数据
第1期 莫惠栋：回归分析中的病态矩阵及其改进 5 准确性并无明显影响：但本例de(R)=1又表明，例 得到二元回归方程V=-35.8369+183402X. 1发生的高度线性依赖已完全消除。本例还表明 11250X.和 -4.7502, 1.4711,5 =0.1085 XX的是否病态与所配模型直接关联：同一资料， 二元决定系数R'=0.9865。这说明X的变异可 对模型E(Y)=月。+月，X,+B,X2,XX为病态：而对 定y变异的9865，且3个回归系数都极显著， 模型E(Y)=A+B,X,X'X是良态。 合二元线性方程非常话合。讲一步计算可得，(R) 例5例2资料X中的第3列对其余各列的线 =0.0270,表明扩大X的观察范围（仅增1个样 性依赖度最高(：=99.0%)，若删除第3列就是不 点)，例1中XX的病态即已转变成良态。 估计显性效应，损失较大。求其次，可牺牲第6列 43添加限条件 (R:=97.3%),即不估计显性×显性互作。这时 如果能对回归系数的取值给予合理的线性限 制，可将该限制条件直接加入XX。这时，原XX f1 1 0 0 0 的病态、甚至奇异，都可能得到桥正而成为良态 0 0 0.44721 例设以A、、3种抗菌液喷其种柑 R=0 0 -0.903738 0 0 橘树各2株，观察指标为各树的病情指数Y。当应 0 =0.903738 1 用回归模型E(Y)=B。+B,X,+3X2+3,X,分析资 L00.447214 0 0 料（如果A,X1=1:如果B,X2=1:如果C,X=1)时 0 0 0 0 X。X:X,X: 0.25 .0550 11001 [Yu R=0 0 5.4567984.931516 0 1100 0 0 4.9315165.456798 010 -0.559018 0 0 1.25 Y= 1010 进而可得d(R)=0.146606和R=0,R=0.2,R 1001 =0.816742,R:=0.816742,R:=0.2。说明别除例2 1001 中X的第6列，XX即成为良态，列3和4对其余 其正规方程组是 各列的线性依赖度也变小。 4.2增加新的资料 6 2 2 21[bo SY. 对病态的XX,如要保持原回归模型，收集、补 0 0 b. 充适当的新资料有时也是改进病态的一种有效方法。 0 0 b SY 例6例1资料的病态主要是由X,的7和7.】 0 b SY,. 近似于相等数值所引起。如果新增一组观察值X, =10,X2=100和Y=35,仍配合模型E(Y)=B。+ 月X+月X2,则有 注意上述的det(XX)-0,为奇异（由X中的 X。=X,+X,+X,引起)，不能做出回归分析。解决 16 此问题的一个简便方法是删去上述正规方程中的任 1 4 16 49 一方程，加入一个对国归系数的限制方程，例如此处 X 49 可以采用06。+b,+b2+b,=0。这样，改进后的正 17.1 50.41 6 规方程组可以是 171 50.41 0 1 10 100 35 220 「14.907171 -4.521055 0.318973 224.0 20 -4.521055 1.429840 -0.104018 1563.4 200 2 L0.318973 -0.104018 0.007777. L11578.34 6222b。 b= (XX)-1 XY 0 -35.8369 0 18.3402 2 万方59 0111
准确性并无明显影响；但本例 !"（# !）$ % 又表明，例 % 发生的高度线性依赖已完全消 除。本 例 还 表 明 "&" 的是否病态与所配模型直接关联：同一资料， 对模型 ’（ !）$!( )!% "% )!* "*，"& " 为病态；而对 模型 ’（ !）$!( )!% "%，"&" 是良态。 例 ! 例 * 资料 " 中的第 + 列对其余各列的线 性依赖度最高（ #* + $ ,, -(. ），若删除第 + 列就是不 估计显性效应，损失较大。求其次，可牺牲第 / 列 （ #* / $ ,0 -+. ），即不估计显性 1 显性互作。这时 ! $ % % ( ( ( ( ( ( ( (-220*%2 ( ( % 3 (-,(+0+4 ( ( ( 3 (-,(+0+4 % ( ( (-220*%2 ( ( % !3 % $ % ( ( ( ( ( (-*5 ( ( 3 (-55,(%4 ( ( 5-25/0,4 2-,+%5%/ ( ( ( 2-,+%5%/ 5-25/0,4 ( ( 3 (-55,(%4 ( ( %-*5 进而可得 !"（# !）$ ( -%2//(/ 和 #* % $ (，#* * $ ( -*，#* + $ ( -4%/02*，#* 2 $ ( -4%/02*，#* 5 $ ( -*。说明删除例 * 中 " 的第 / 列，"& " 即成为良态，列 + 和 2 对其余 各列的线性依赖度也变小。 " #$ 增加新的资料 对病态的 "&"，如要保持原回归模型，收集、补 充适当的新资料有时也是改进病态的一种有效方法。 例 % 例 % 资料的病态主要是由 "% 的 0 和 0 -% 近似于相等数值所引起。如果新增一组观察值 "% $ %(，"* $ %(( 和 ! $ +5，仍配合模型 ’（ !）$!( ) !% "% )!* "*，则有 " $ % 2 %/ % 2 %/ % 0 2, % 0 2, % 0 -% 5( -2% % 0 -% 5( -2% % %( %(( # $ %, *( +0 +, +/ +4 +5 $( $% $ * $ %2-,(0%0% 3 2-5*%(55 (-+%4,0+ 3 2-5*%(55 %-2*,42( 3 (-%(2(%4 (-+%4,0+ 3 (-%(2(%4 (-((0000 **2-( %5/+-2 %%504-+2 $ $ （ "&"）3 % "&# $ 3 +5 -4+/, %4 -+2(* 3 % -%*5, 得到 二 元 回 归 方 程 ! 6 $ 3 +5 -4+/, ) %4 -+2(* "% 3 % -%*5, "* 和 %$( $ 2 -05(*，%$% $ % -20%%，%$* $ ( -%(45， 二元决定系数 #* $ ( -,4/5。这说明 " 的变异可决 定 ! 变异的 ,4 -/5. ，且 + 个回归系数都极显著，配 合二元线性方程非常适合。进一步计算可得 !"（# !） $ ( -(*0(，表明扩大 " 的观察范围（仅增 % 个样本 点），例 % 中 "&" 的病态即已转变成良态。 " #& 添加限制条件 如果能对回归系数的取值给予合理的线性限 制，可将该限制条件直接加入 "& "。这时，原 "& " 的病态、甚至奇异，都可能得到矫正而成为良态。 例 ’ 设以 &、’、( + 种抗菌液喷洒某品种柑 橘树各 * 株，观察指标为各树的病情指数 !。当应 用回归模型 ’（ !）$!( )!% "% )!* "* )!+ "+ 分析资 料（如果 &，"% $ %；如果 ’，"* $ %；如果 (，"+ $ %）时， " $ "( "% "* "+ % % ( ( % % ( ( % ( % ( % ( % ( % ( ( % % ( ( % # $ !%% !%* !*% !** !+% ! +* 其正规方程组是 / * * * * * ( ( * ( * ( * ( ( * $( $% $* $ + $ "!·· "!% · "!* · "!+ · "&" $ $ "&# 注意上述的 !"（# "& "）$ (，为奇异（由 " 中的 "( $ "% ) "* ) "+ 引起），不能做出回归分析。解决 此问题的一个简便方法是删去上述正规方程中的任 一方程，加入一个对回归系数的限制方程，例如此处 可以采用 ( $( ) $% ) $* ) $+ $ (。这样，改进后的正 规方程组可以是 ( % % % * * ( ( * ( * ( * ( ( * $( $% $* $ + $ ( "!% · "!* · "!+ · 或 / * * * * * ( ( * ( * ( ( % % % $( $% $* $ + $ "!- - "!%- "!*- ( ，…… 等。 第 % 期 莫惠栋：回归分析中的病态矩阵及其改进 5 万方数据
作 学 第32卷 上述的“XX”均已成为良态，其解均为b。=y,b1= 方差为，共m个，而由改进的XX得到的相对应 1-y),b:=(万-y),b,=(万-y),与该资料的 值为b:、:和m',则病态时回归系数的平均误差变 方差分析结果等同 异系数 上述方法可推广到具有不等观察值数日的试 验：设第：处理的观察值为n,个，则在改进奇异或 c=∑m (14) 病态的XX时可添加的线性限制为 而改进后的相应值为 n,b=0 (13) (15) 在实践上，应注意式(13)限制的合理性，因为限 制不同将直接导致解的不同。本例添加的限制使 因此，改进的效应(improvement power, P)可用改进 b,b2b,与A、B、C3处理的效应相当，故是充分 后误差变异系数减少的成数来度量，即 合理的。 IP 1-C'IC (16 4.4采用非常规回归方法 例8例1资料的xX为病态，由式(14)可得 在模型和资料不变情况下，对于病态的XX,还 C=8574.160+B.187 +10.7643 可采用非常规回归方法，主要有广义逆M回归 151.186 =0.6041 和脊回归。前者实质上是简化原设的回归模型 后者则是保持原模型但直接干预对应于XX的主 在例6经改进，由式(15)可得 对角线元素，使逆阵元素的取值变小，回归系数的误 C=(14.9077/.429840 差诚小。其详细程序可见文献[11]和[12]。 35.8369 8340 =0.0837 5讨论 故 5.1病态诊断的重要性 1P=1-0.0837/0.6041=0.8614 回归方法在农学、生物学领域有着相当广泛的 这说明例6的改进使回归系数的误差变异系数比原 应用。但人们通常只关注自变数X和依变数y的 资料平均减少了86.14%，应是非常有效的。 数量关系，并不注意X的结构特征。本研究表明 如果X中存在高度的线性列依赖，就会产生病态的 ences XX,使det(X'X)近于O:由于对X'X求逆时必须用 Box G E P.Draper N R.Empirical Modd Bu ling and Response 到以de(Xx)为除数，故近于0的det(XX)又导致 [2]Khuri A 1.Cor (XX)中元素取值的极度“膨胀”，回归系数的误 York:Marcel Dekker Inc.1987 差均方V(6,)猛增。其结果是回归配合的稳健性和 [3] Math 精确度皆严重丧失，甚至完全失败。但是，如果能够 [4]igE-X(蒋尔接)，GaoK-M(高坤皱)，Wu上K(吴景跟).im 及时发现XX的病态，则可能应用多种方法使之趋 Algebra(线性代数).Shanghai:People',Education Pre,I978(im 于良态或成为良态。这是应用统计学中尚需充分研 [s] 究的问颗。 1938 据笔者的实践，多元回归分析中，XX的病态 [6] (陈景良)，CmX-H(陈向晖)，Special Matrises(特殊矩 是较为普遍的现象，而且随着自变数个数(X的列 i0a(农业试验统计)，2m 数)的增多，病态有着更普遍、更严重的趋势。因此 1992(in Chin [8 Am stician 病态诊断应作为回归分析的必要准备，特别在分析 结果出现异常时（如例） [9]Ke 5.2病态改进效应的度量 [10 Chapmnan and Hall.1996.P32 病态XX的回归分析与改进XX的回归分析 在回归系数、回归系数的误差方差和回归系数的个 [1]nD(莫事栋) 是上执可能不同。评估改进病态的效应，需缘合号 [12]HD(莫惠传) 设由病揭X得到的回归系数为，其误差 Agron3n(作物学报)，2002,28(4)：433-438(in Chinese
上述的“ !! !”均已成为良态，其解均为 !" #!"，!$ # （"$ % "），!& #（ "& % "），!’ #（ "’ % "），与该资料的 方差分析结果等同。 上述方法可推广到具有不等观察值数目的试 验：设第 # 处理的观察值为 $# 个，则在改进奇异或 病态的 !!! 时可添加的线性限制为 "$#!# # " （$’） 在实践上，应注意式（$’）限制的合理性，因为限 制不同将直接导致解的不同。本例添加的限制使 !$、!&、!’ 与 %、&、’ ’ 处理的效应相当，故是充分 合理的。 ! "! 采用非常规回归方法 在模型和资料不变情况下，对于病态的 !!!，还 可采用非常规回归方法，主要有广义逆 " % 回归［$$］ 和脊回归［$&］ 。前者实质上是简化原设的回归模型； 后者则是保持原模型但直接干预对应于 !! ! 的主 对角线元素，使逆阵元素的取值变小，回归系数的误 差减小。其详细程序可见文献［$$］和［$&］。 # 讨论 # "$ 病态诊断的重要性 回归方法在农学、生物学领域有着相当广泛的 应用。但人们通常只关注自变数 ! 和依变数 # 的 数量关系，并不注意 ! 的结构特征。本研究表明， 如果 ! 中存在高度的线性列依赖，就会产生病态的 !!!，使 ()（* !!!）近于 "；由于对 !!! 求逆时必须用 到以 ()（* !!!）为除数，故近于 " 的 ()（* !!!）又导致 （!!!）% $ 中元素取值的极度“膨胀”，回归系数的误 差均方 (（ !#）猛增。其结果是回归配合的稳健性和 精确度皆严重丧失，甚至完全失败。但是，如果能够 及时发现 !!! 的病态，则可能应用多种方法使之趋 于良态或成为良态。这是应用统计学中尚需充分研 究的问题。 据笔者的实践，多元回归分析中，!! ! 的病态 是较为普遍的现象，而且随着自变数个数（ ! 的列 数）的增多，病态有着更普遍、更严重的趋势。因此 病态诊断应作为回归分析的必要准备，特别在分析 结果出现异常时（如例 $）。 # "% 病态改进效应的度量 病态 !!! 的回归分析与改进 !!! 的回归分析， 在回归系数、回归系数的误差方差和回归系数的个 数上均可能不同。评估改进病态的效应，需综合考 虑上述因素。 设由病态的 !!! 得到的回归系数为 !# ，其误差 方差为 )## ，共 * 个，而由改进的 !!! 得到的相对应 值为 !!# 、)!## 和 *! ，则病态时回归系数的平均误差变 异系数 ’ # "# #)## + !# + , * （$-） 而改进后的相应值为 ’! # "# #)!## + !!# + , *! （$.） 因此，改进的效应（/01234)0)5* 136)2，78）可用改进 后误差变异系数减少的成数来度量，即 +, # $ % ’! , ’ （$9） 例 & 例 $ 资料的 !!! 为病态，由式（$-）可得 ’ # #:.;- #$’$. =$:;; 9’ =.’$. > #$" =;9-$ ( ) . =&$." ,’ # " #$ =-&?:-" $: =’-"& > #" ="";;;; ( ) $ =$&.? ,’ # " =":’; 故 +, # $ % " =":’;," =9"-$ # " =:9$- 这说明例 9 的改进使回归系数的误差变异系数比原 资料平均减少了 :9 =$-@，应是非常有效的。 ’()(*(+,(- ［$］A3B C D 8，E2F1)2 G H= D01/2/IFJ K3()J AL/J(/5M F5( H)N135N) OL2PFI) = G)6 Q32R：S3T5 U/J)V F5( O35N 75I，$?:; ［&］WTL2/ X 7，Y325)JJ S X= H)N135N) OL2PFI)：E)N/M5N F5( X5FJVN/N= G)6 Q32R：KF2I)J E)RR)2 75I，$?:; ［’］KF*T)2 W，S/5RN S Z= A/30)*2/IFJ C)5)*/IN，’2( )( = Z35(35：YTF10F5 F5( [FJJ，$?:& ［-］S/F5M D\]（蒋尔雄），CF3 W\K（高坤敏），UL S\W（吴景琨）= Z/5)F2 XJM)^2（F 线性代数）= OTF5MTF/：8)31J)’N D(LIF*/35 82)NN，$?;:（/5 YT/5)N)） ［.］E2F1)2 G H，O0/*T [= X11J/)( H)M2)NN/35 X5FJVN/N= G)6 Q32R：S3T5 U/J)V F5( O35N 75I，$??: ［9］YT)5 S\Z（陈景良），YT)5 ]\[（陈向晖）= O1)I/FJ KF*2/B)（N 特 殊 矩 阵）= A)/_/5M：‘N/5MTLF a5/4 82)NN，&""$ = 11 $.- $9&（/5 YT/5)N)） ［;］K3 [\E（莫惠栋）= XM2/ILJ*L2FJ DB1)2/0)5*F*/3（5 农业试验统计），&5( )( = OTF5MTF/：OTF5MTF/ OI/ b ‘)IT 82)NN，$??&（/5 YT/5)N)） ［:］c2)L5( H S= X 6F25/5M 3P 23L5(\3PP )2232N /5 2)M2)NN/35 = %* -./.#0.#)#/$， $?9’，E)2 $;，$’ $. ［?］W)F2N)V K S，8335/ [ O = ‘T) C)5)*/IFJ X5FJVN/N 3P dLF5*/*F*/4) ‘2F/*N= Z35(35：YTF10F5 F5( [FJJ，$??9 = 1 &’& ［$"］A)JNJ)V E X= Y35(/*/35/5M E/FM53N*/IN，Y3JJ/5)F2/*V F5( U)FR EF*F /5 H)M2)NN/35 = G)6 Q32R：S3T5 U/J)V F5( O35N 75I，$??$ = 11 &: &? ［$$］K3 [\E（莫 惠 栋）= H)M2)NN/35 ^V M)5)2FJ/e)( /54)2N)N " % F5( /*N F11J/IF*/35= 1 2/$34567 8$#9（XM2/I F5( Z/P) OI/（）扬州大学学报·农业 与生命科学版），&""&，&（’ $）：’. ’（? /5 YT/5)N) 6/*T D5MJ/NT F^N*2FI*） ［$&］K3 [\E（莫 惠 栋）= H/(M) 2)M2)NN/35 123I)(L2) F5( /*N F11J/IF*/35 = %)./ %3:6$ -#$（作物学报），&""&，&:（-）：-’’ -’:（/5 YT/5)N) 6/*T D5MJ/NT F^N*2FI*） 9 作 物 学 报 第 ’& 卷 万方数据
回归分析中的病态矩阵及其改进 田万方数据 ANFANG DATA 文献链接 作者： 莫惠栋，MO Hui-Dong 作者单位： 扬州大学数量遗传研究室，江苏扬州，225009 刊名： 作物学报STIC PKU 英文刊名： ACTA AGRONOMICA SINICA 年，卷（期）： 2006,32(1) 引用次数： 1次 参考文献(12条】 1.Box G E P.Draper N R Empirical Model Building and Response Surface 1987 2.Khuri A I.Cornell J A Response Surface:Designs and Analysis 1987 3.Mather K.Jinks J L Biometrical Genetics,3rd ed 1982 4.蒋尔雄.高坤敏.吴景琨线性代数1978 5.Draper N R.Smith H Applied Regression Analysis 1998 6.陈景良.陈向晖特殊矩阵2001 7.莫惠栋农业试验统计1992 8.Freund R J A warning of round-off errors in regression 1963 9.Kearsey M J.Pooni H S The Genetical Analysis of Quantitative Traits 1996 10.Belsley D A Conditioning Diagnostics,Collinearity and Weak Data in Regression 1991 11.莫患栋广义逆-回归及其应用[期刊论文]-扬州大学学报（农业与生命科学版）2002(1) 12.莫惠栋脊回归技术及其应用[期刊论文]-作物学报2002(4) 相似文献(1条) 1.期刊论文莫惠栋广义逆M-回归及其应用-扬州大学学报（农业与生命科学版）2002,23(1) 广义逆“-回归是在信息矩阵=（仅”）为奇异或病态时一种备择的回归分析方法.介绍了广义逆-回归的统计学原理和基本特征：提出了在奇异矩库中 找出的方法以及适合“回归的场合.以若干例子说明-回归的程序和效果，也讨论了消除奇异矩阵的奇异性的一些途径 引证文款(1条) 1.张建华.金黎平.谢开云.庞万福。卞春松.段绍光.屈冬玉马铃薯块茎性状对块茎损伤的影响[期刊论文]-园艺学报 2008(10) 本文链接：http:/d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zuowxb20060100l.aspx 下载时间：2010年3月5日
回归分析中的病态矩阵及其改进 作者： 莫惠栋， MO Hui-Dong 作者单位： 扬州大学数量遗传研究室,江苏扬州,225009 刊名： 作物学报 英文刊名： ACTA AGRONOMICA SINICA 年，卷(期)： 2006，32(1) 引用次数： 1次 参考文献(12条) 1.Box G E P.Draper N R Empirical Model Building and Response Surface 1987 2.Khuri A I.Cornell J A Response Surface:Designs and Analysis 1987 3.Mather K.Jinks J L Biometrical Genetics,3rd ed 1982 4.蒋尔雄.高坤敏.吴景琨 线性代数 1978 5.Draper N R.Smith H Applied Regression Analysis 1998 6.陈景良.陈向晖 特殊矩阵 2001 7.莫惠栋 农业试验统计 1992 8.Freund R J A warning of round-off errors in regression 1963 9.Kearsey M J.Pooni H S The Genetical Analysis of Quantitative Traits 1996 10.Belsley D A Conditioning Diagnostics,Collinearity and Weak Data in Regression 1991 11.莫惠栋 广义逆M-回归及其应用[期刊论文]-扬州大学学报(农业与生命科学版) 2002(1) 12.莫惠栋 脊回归技术及其应用[期刊论文]-作物学报 2002(4) 相似文献(1条) 1.期刊论文 莫惠栋 广义逆M-回归及其应用 -扬州大学学报(农业与生命科学版)2002,23(1) 广义逆M-回归是在信息矩阵M=(X′X)为奇异或病态时一种备择的回归分析方法.介绍了广义逆M-回归的统计学原理和基本特征;提出了在奇异矩阵M中 找出M-的方法以及适合M-回归的场合.以若干例子说明M-回归的程序和效果,也讨论了消除奇异矩阵的奇异性的一些途径. 引证文献(1条) 1.张建华.金黎平.谢开云.庞万福.卞春松.段绍光.屈冬玉 马铃薯块茎性状对块茎损伤的影响[期刊论文]-园艺学报 2008(10) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zuowxb200601001.aspx 下载时间：2010年3月5日
