第8卷 四川畜牧兽医学院学报 47 Logistic模型的参数估计 章元明 盖钧货 (四川畜效善臣学院) (南家农业大学) 自Malthus提出了生物总量增长定律后，Verhulst(1838)提出了Logistic模型，本世纪20 年代由Pearl&Reed重新发现了该模型后，其应用日益广泛。其中，其参数估计方法更是人们 关注的焦点。迄今为止，已提出了多种不同的估计方法，归纳起来有三类：线性化方法影优化方 法及其它。本文便通过数据资料（化，y),(t2y2),(twyw)分别介绍L0 gistic模型y或f(0, t)=K/[1十exp(a一rt)门的不同参数估计方法。 1线性化方法 1.1三点法 该法由Pearl&Reed(1920)提出，假定t呈等差数列.首先，选择满足2t,=t1十t的三点 (y),(t2y:)和(ty)估计参数K,K=[2y一y(y1十y)]/(yy一y2).然后，利用线性 关系式： In[(K-y)/y]=a-rt (1) 通过最小二乘(LS)法估计a和r。 本法估计参数K时，仅用了三对数据，未充分利用资料，且其估计值会因选择点不同而 异。该齿误差大。 1.2两步法 假定t是等差数列，公差△=t+1-t。若令y:=y1,A=K-l,B=e/K。则 y,=A十Ben,从而 y+=A(1-e)+ey, (2) 故y+与y:呈线性关系，由此可得出(2)中e的LS解，即可得到r的估计值。然后，利用 y,=A十Bn可得到该模型参数A和B的LS解，即得到K和a的估计值). 1.3取N,估K法 周以俭(1990)认为方法1.2得到的K比最大值小得多。为此，提出取N,估K法。假定t 呈等差数列，△为其公差，且令<y+1(周文中依变量为N,)。则 In(y:-y)=In[e/(K-Kera)]-rt (3) ·收猜日别：1994一07一08
第 卷 四川畜牧兽医学院学报 。 模型的参数估计 ’ 章元明 四 川 畜牡 菩 医 学院 盖钧锐 南京农亚大 学 自 提出 生物 总量增长定律后 , 提出了 棋型 ,本世纪 年长斑玲叮 多 重新发现了该模型后 , 其应用 日益广泛 。 其中 , 其参数估计方法更是人们 关注的焦点 。 迄今为止 , 已豆出了多种不 同的估计方法 , 归纳起来有三类 、线性化方祛 、优化方 法及其它 。 本文便通过数据资料 , , , , , … … , 、 , 分别介绍 模型 或 , ‘ 一 的不同参数估计方法 。 线性化方法 三点法 该法 由 乙 提出 。 假定 呈等差数列 。 首先 , 选择满足 一 , 的三点 , , , 和 , 估计参数 , 〔 、 一 , 一 。 然后 , 利用线性 关系式 , 〔 一 厅 〕 一 材 通过最小二乘 法估计 和 。 本法估计参数 时 , 仅用 了三对数据 , 未充分利用资料 , 且其估计值会 因选 择点不 同而 异 。 该法误差大 。 两步法 假定 七 呈等差数列 , 公差 △ 一 。 若令 ’ 、 一‘ , 一 一‘ , 则 , 。 一 , 从而 “ 一 一 一 与“ 故 , 。 与 ‘ , 呈线性关系 , 由此可得 出 中 一 叻 的 解 , 即可得 到 的估计值 。 然后 , 利用 , 。二 一 可得到该模型参数 和 的 解 , 即得到 和 的估计值 〕。 取 二 估 法 周以俭 认为方法 得到 的 比最大值小得多 。 为此 , 提出取 。 估 法 。 假定 呈等差数列 , △为其公差 , 且令 十 周文 中依变量为 。 则 劳一‘ 一 夕动 一 鹉 一 , 收稿日期 一 。, 一 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
48 章元明等：Logistic模型的参数估计 第2期 由此，利用ln(g,1-y+1l)与t呈线性关系，估计出r和e/K.然后，利用曲线通过(tw,yw)(y 为y的最大值)，即yw1=K-1十(e/K)ew,求出K值。最后，将K值代入e/K中得到a值. 1.4尝试法 董明春等(1981)提出该法。选取比所有稍大的数作为K的视值：然后，以一定步长增 大，每提供一个K,由(1)可得到一组r和a值，并算出相应的估计值9以及与间的相关 系数R。当R一旦下降，停止运算，最大的R所对应的K,a和：为最佳拟合的参数估计值。 1.5一阶差商法 对于Logistic漠理dy/try(K一y)/K,杨运清等(1992)利用一阶差商估计dy/ydt, dy/yd)=y+1-y)/[y.+1-)]Z (4) 从而通过资料（亿，Y)利用棋型Zr一(/K)y求出参数r和K. 对于参数a的估计有两种方法：①通过([K一)/],)数据估计参数a(参差分法)，② 采用如权LS求.设g=lnK,之，h=dy/g=ygK-1D,则a=[∑g+r(∑h)]/∑h. y 1.6差分法 Logistic模型的差分形式+1=y/[1+ya-1)/K],其中，=e'.上式可转变为 y/y+1=入-1+[1-入-1)/K]y。若令C=入1，B=(1-c)/K,x=y/y+1,则 =C+By (5) 由此可得到(5)中C和B的LS解，可得r=ln(1/c)和K=(1-c)/B. 对于参数a的估计，可利用(1)得a=Z+r元。其中，Z和t分别为乙和七的平均值，乙=ln [(K-y)/y].这里，要求<K。 1.7三步法 张海松等(1991)提出该法，第一步，利用数据集，建立多项式y=C。十Ct十…十C,,一 般r取3一？次，第二步，对模型函数进行徽分在内的各种运算，变换为只含参数、y及其导函 数的等式。Logistic模型变换为r=(2y2一yy")/(yy),从而算出r值；第三步，将r代入模型 y1=K-1+e”,即可得到K和a的参数估计值. 以上？种方法都是Logistic棋型变换为线性模型，利用线性关系估计Logistic模型参数 或其参数的函数。此外，如目测法，平均值法等都属此类。值得注意的是，这些估计值仅为特定 线性模型的LS估计值，一般不是Logistic模型的LS估计值。因而，它们均为近似估计值。 2优化方法 2.10.618法 该法主要是对参数K进行优化，其主要过程是：首先确定参数K的设索区间[a,b](祝 生物学意义而定)，求出区问中的两点A1与A2,其中，A,=a十0.382(b,一a),A2=a。十0.618 (b。一a).以A和A,为K的估计值，利用线性化模型(1)可求出a和及其剩余平方和Q (i=1.2).其次，缩短K的搜索区间.若Q<Q,K的搜索区间为[a,A,]:反之为[A1,b].若 K在[ao,A,]内，第三点取为A,=a十A2-A1,计算Q,若Q<Q1,K的搜紫区间为[ao,A];
章元明等 模型 的参数估计 第 期 由此 , 利用 。一 , 一 十 一 , 与 呈线性关系 , 估计 出 和 ‘ 。 然后 , 利用 曲线通过 , 为 的最大值 , 即 一 ’一 一 ’ 一 , 求出 值 。 最后 , 将 值代入 中得到 值 。 尝试法 董明春等 提出该法 。 选取 比所有 稍大 的数作为 的初值 , 然后 , 以一定步长增 大 , 每提供一个 , , 由 可得到 一组 和 值 , 并算出相应的估计值 夕以及 夕 , 与 间的相关 系数 当 一旦下降 , 停止运算 , 最大的 所对应的 , 和 为最佳拟合的参数估计值 。 一阶差商法 对于 模型 一 , 杨运清等 利用一 呛恙商估计 , 夕 ‘ 抽 , 一 从 ‘ 一 ‘ 么 乙 从而通过资料 。, 利用模型 、 一 求出参数 和 。 对于参数 的估计有两种方法 ①通过 〔 一 。 , 〕 , 数据估计参数 。 参差分法 , ② 。 。二 二 。 小 。几 , 一 , 」 , 」 , , 、 、 。 甲 , , 甲 , 、 , , 甲 , 采用加权 求 。。 ‘ 设芯只斌牛班声 一 , 一 一 则 一 〔乙 乙 〕乙 ” 一 一 一 差分法 模型的差分形式 十 入 入一 〕 , 其中 , 入 。 上式可转变为 , 肠 , 入一‘ 一犷 , 。 若令 入一 , , 二 一 , 孙 黔 , 则 ’ 刀 , 由此可得到 中 和 的 解 , 可得 和 一 。 对于参数 的估计 , 可利用 得 玄 王 。 其 中 , 艺和 石分别为 、和 认 的平均值 , 乙二 一 。 , 。 这里 , 要求 , 。 三步法 张海松等 提出该法 。 第一步 , 利用数据集 , 建立多项式 一 。 … … , , 一 般 取 一 次 第二步 , 对模型 函数进行微分在 内的各种运算 , 变换为只含参数 、 及其导 函 数的等式 。 。 模型变换为 一 ’ 一 尹 ‘ , 从而算出 值 第三步 , 将 代入模型 一 一 畏一 , 即可得到 和 · 的参数估计值 。 以上 种方法都是 模型变换为线性模型 , 利用线性关系估计 模型参数 或其参数的函数 。 此外 , 如 目测法 , 平均值法等都属此类 。 值得注意的是 , 这些估计值仅为特定 线性模型 的 估计值 , 一般不是 模型的 估计值 。 因而 , 它们均为近似估计值 。 优化方法 法 该法主 要是对参数 进行优化 , 其主要过程是 首先确定参数 的搜索区 间【 。 , 。 」视 生物学意 义而定 , 求出区间中的两点 , 与 , 其 中 , 、 。 。一 。 , 一 。十 。一 。 。 以 和 为 的估计值 , 利用线性化模型 可求 出 , 和 及其剩余平方和 二 , 。 其次 , 缩短 的搜索区间 。 若 , , 的搜索区 间为 。 , 」反之为〔 , 〕 。 若 在 〔 。 , 内 , 第三点取 为 一 。 一 , , 计算 , 若 , , 的搜索 区 间为 〔 。 , 、 〕 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
第8卷 四川畜牧兽医学院学报 49 反之为[A,A:].以后每次搜索区间含三个点，用区间两头相加减去中间点的办法决定新的搜 索区间，循环到满足要求为止。m次搜索后，区间长度为△=0.618(b。一a). 2.2正交试验法 非线性模型参数估计时，一般都是以试验观测平均数为基础，但因干扰和误差等原因，它 与真实平均数有差异，为此，余克庆等(1990)提出以数据集团呈正态分布为前提，利用正交试 验和优选法，在置信区间内模拟出最佳平均数集团以估计模型参数。其兵体非骤为：①最佳平 均数集团的选择，资料对数为正交试验的因素数目，每因素攻5个水平，述都适当的正交表，如 L(5)进行正交试验。若每一观测点的平均数没标准差为和S,则每因素水平（每点将参加 参数估计的平均数)取-8-3V玩示+3/2，示+8。在每一试孩方案中，计算1n长2与 t的相关系数及相关数为0的概率大小。选择R接近于1面概率小的平均数集团为最佳 平均嫌集团@参数忧化，可按0618法对最佳平均数集团进行参数体计。·一 23 Gauss-一Newton法及改丧法 该法实质是把非线性LS问题逐次化为一系列线性LS问题来选代求解，其基本思想是将 非线性棋型函数￡(0)在某已知点处作Taylor展开，略去二次及二次以上的项，按线性LS 问题求解出加+”=+△中的△，循环此过程到满意为止。其步骤为 ①给出初值日及容许误差>0，令1=0， ②计算a”=/闭 (=1,…,mj=1…,n) g-w.(y.-f.0)a0w （j1,n0 其中，0-f(x,0),待估参数个数n一3，W:为权 ③解线性方程组 AOTWA0△D=-G0D 其中，A=(a,)m, W-diag(w1,w2,…,wa),Ga=(g,g,…,g)T。 国计算60+)=m十△”， ⑤若‖△w【<,则打印0°=加+D,否则，令1=1+1并转回②. 该法的主要短点是初值选择不恰，{0)不收敛或仅局部收敛，为此，Hartley提出了修正 Gauss-一Newton方法，它比Gauss-一Newton法有一大的收敛域，但是，在应用中，它不是总成 功的，若A不是列满秩，该法会失败。因而Sevenberg和Marquardt先后提出在系数矩阵的 主对角元素上均加一个系数d,其它一致，这称为Miarquardt方法或阻尼最小二乘法。该法对 初值的要求放宽了一些，当然，比Marquardt方法更好的还有，如Meyer&.Roth方法，螺线方 法等。 2.4神经网络辨识算法 Logistic模型可变换为 y=K1+ 若令Z=y,有Z=K1+Kle.取h=g(x)=e,f(x)=x,由此，按网络辨识算法切，其步 骤如下 ①选非0初值W=(W1,8,W:,0),0<u≤1； ②前向传播。计算h=e+和乙=十Wh,(i=1,2,…,N) ③反向传播。对i=1到N做如下过程：
第 卷 四 川畜牧兽医学院学报 反之为〔 , 。 以后每次搜索区间含三个点 , 用区间两头相加减去中间点的办法决定新的搜 索 区间 , 循环到满足要求为止 。 次搜索后 , 区间长度为 △一 “ 。一 。 正交试验法 非线性模型参数估计时 , 一般都是以试验观测平均数为基础 , 但因干扰和 误差等原因 , 它 与真实平均数有差异 , 为此 , 余克庆等 提出以数据集团呈正态分布为前提 , 利用正交试 验和优选法 , 在置信区间内模拟 出最佳平均数集团以估计模型参数 。 其具体步骤为 ①最佳平 均数集团 的选择 , 资料对数为正交试验的因素数 目 , 每因素取 个水平 , 选择适当的正交表 , 如 ‘ 进行正交试验 。 若每一观测点 的平均数及标准差为灭和 , 则每因素水平 每点将参加 ‘ ‘ 、 、‘ 二 、 一 一 。 , , 一 一 。 , 一 。 一 一 , 山 、 , 一 、 参数估计的平均数 取灭一 , 灭一 , 灭 , 灭 鼠 ,灭 。 在每一试验方案中 , 一 计算 立汾上与 一 ’ ” ’ 一 ’ 一 ’ 一‘ ” ’ ‘ ’ 一 ”” ‘ ’ 一 ’ ‘ ’ “ 一 ’ 一 一 ”一 一 ’ 一 ’ 一 ’ 一 ’ 订的相关素数 吸柑关系数办仆 的概库诱剑 、 ‘ , 、 选择 接近王 一 瓜摄吏少的平均数集团为最佳 一 平均数集团 ,匆参数优化 , 可按 矶冬法对最佳平均数集团进标参数估希卜, 一 · 一 法及改良法 该法实质是把非线性 问题逐次化为一系列线性 间题来迭代求解 。 其基本思想是将 非线性模型 函数 在某 已 知点 俨,处作 展开 , 略去二次及二次 以上的项 , 按线性 间题求解出 。 , 护, △中的 △ , 循环此过程到满意为止 。 其步骤为 给出初值 , 及容许误差 。 。 , 令 , 计算 。 孤 截 , 一 , · · … , 约 , …… , ②① 扩 一 咨 。‘ ,一 , “ , ·“ · ‘,一‘ , 一 , 其中 , 么 , 伪 , 。, , 待估参数个数 。 , 。为权 ③ 解线性方程组 。 △。 一 。 其中 。, 勒 , , , , , … … , 。 , 。, , , 以 , , … … , 以 , 。 ④ 计算 沪 , 砂 △仍 ⑤ 若 △“ , 。 , 则打印 ’ 。 , , 否则 , 令 并转 回 ② 。 该法的主要 短 点是初值选择不 恰 , 厦沪, 不收敛或仅局部收效 , 为此 , 提 出了修正 一 方法 , 它 比 。一 法有一大的收敛域 , 但是 , 在应用 中 , 它不是总成 功的 , 若 。不是列满秩 , 该法会失败 。 因而 和 先后提出在系数矩 阵的 主对角元素上均加一个系数 , 其它一致 这称为 方法或阻尼最小二乘法 。 该法对 初值的要求放宽了一些 , 当然 , 比 方法更好的还有 , 如 方法 , 螺线方 法等 。 神经网络辨识算法 模型可变换为 一 , 一‘ 一 , ‘ 若令 一 一 , , 有 一 , 十 魂 以 取 , 一 , 由此 , 按网络辨识算法〔 , 其步 骤如下 ① 选非 初值 , , , 仇 , ② 前向传播 。 计算 一 、和 么 十 , , … … , ③ 反 向传播 。 对 到 做如下过程 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
50 章元明等：Logistic模型的参数估计 第2期 C,=Witi+0 Ca=Wh十6， d2=Z4-2 d:=eSW:(Z-2) e(i)=dx e2(i)=d1 e,(i)=dect e.(i)-d: ④修正权数 w,-W:+u2c() &-8+n宫0 W:-W.tu20 .=6tu2e,0 ⑤判断误差平方雍39=∑(，-)是否满足要求.若满足，则停止：否则，转②，循环 此过程。 得到各数值后，Logistic模型参数估计值为：r=W1,K=',a=十ln(W/0,). 该法代次数很大，其效果受初值和的影响很大。 2.5均匀布点的序贯方法 方开秦和张金适(1993)提出该法，其算法的步豫为： ①找参数6的初值，确定初始矩形的半边长d。: ②以，为中心，以d为半边长，作初始矩形D=。-d。,。十dl,令t=o,D,=D, d.=do,0.=0. ③在D,上均匀散布N个点{眼设1，找K,使 s(6)-o≤K5N.s(0) 其中，0,0=骏，t>1: ④令e为预先给定的适当小的正数，若max(d,)<e,则取日的LS近似值为0=眼(t), 否则，t=t+1,d=d/2,0o=,且使D=1A-d,A十d|∩Do,返回③。 以上算法对Logistic模型等S曲线效果不很好，其修正如下： ①初值估计预寻法。由a和d。作初始矩形D,=a。一d,A十d,l.在D,上均匀布。个 min 点0四是1，找K,使s0)1<K二N,s0),若s(00)<S,),则以6代替8，d不 变：否则N。和，不变，以d/2代d,重复前面做法，直到进行3一5次，则最后获得的，或 将是更好的初值估计，d。将是更合适的初始矩形半边长。 @送代不再局限于D。之内。取D,=A一d,A十d,l. ③交又布点搜索，每阶段布点次数依次重复N,与N, 此外，万昌秀等(1983)、李启文(1988)提出过牧举优选法，其主要思路是基于离差平方和 与参数K和选取数据对数有关之特性进行参数估计的。 3其它 3.1种群模型参数辨识法
章元 明等 模型的参数估计 第 期 。 氏 , 一 么 ④ 修正权数 , 玩 氏 乙一 么 一 。 习 , 二 。 习 。一 。 名 。一 。 。 习 。 ⑤ 判断误差平方和 一 习 一梦 , 是否满足要求 。 若满足 , 则停止 否则 , 转 ② , 循环 此过程矿 得到各数值后 , 模型参数估计值为 , 盯 ‘ , 。 该法迭代次数很大 , 其效果受初值和 的影响很大 。 均匀布点的序贯方法 方开泰和张金适 提 出该法 , 其算法的步骤为 ① 找参数 的初值 氏 , 确定初始矩形的半边长 。 ② 以 氏为中心 , 以 。 为半边长 , 作初始矩形 氏一 。 , 氏 。 , 令 。 , 。 , 一 。 , 氏 氏 。 ③ 在 上均匀散布 , 个点 , 叙 , 找 。 使 哎哟 镇 岭 , 其中八 , 嘟 ‘ , , ④ 令 ‘ 为预先给定的适当小的正数 , 若 。, 则取 。的 近似值为 口 毗 否则 , , 二 , , , 峨林‘, , 且使 玖 氏一 , 氏 旧 , 返 回 ③ 。 以上算法对 模型等 曲线效果不很好 , 其修正如下 ① 初值估计预寻法 。 由 。 和 。 作初始矩形 。 氏一 。, 氏 。 。 在 上均匀布 。 个 点 ‘ , 畏里 , 找 。 , 使 ‘ , 《 《 , 。 若 ‘ 。, 氏 , 则以 ‘ 。,代替 氏 , 。 不 变 否则 。 和 氏不变 , 以 。 代 。 , 重复前面做法 , 直到进行 一 次 , 则最后获得的 仪 或 氏 将是更好的初值估计 , 。 将是更合适的初始矩形半边长 。 ② 迭代不再局 限于 。 之 内 取 氏一 , 氏 。 ③ 交叉布点搜索 , 每阶段布点次数依次重复 。 与 。 此 外 , 万 昌秀等 、 李启文 提出过牧举优选法 , 其主 要思路是基于离差平方和 与参数 和选取数据对数有关之特性进行参数估计的 。 其它 种群模型参数辨识法 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
第8卷 四川畜牧兽医学院学报 51 陈华豪等(1990)通过M(1,1)模型来辨识Logistic模型参数.微分方程dy/dt=(b,十by) y,当b>0,b<0时，即为Logistic模型。其中，K=-b,/b2r-b,a=ln(-1/b)。 其辨识方法为：给定数据yG=1,2,,N),参数(b,b可通过(B,'B)一B,C来辩 识。其中，B=(Y1,Y2),Y=(y1y2,…yw-1,Y2=(y,2,y22,…,%-)',C=(△ya,△y, …,Ayy,这里，△=-yG=2,3,…,N). 陈华豪等(1990)认为该法与Marquardt法相当. 3.2数值方法 吴新元(1990)提出该法.对于Logistic模望的敬分方程dy/dt=(b,-by)y,yo,=y,其 中，K=b/b2,r=b1,a=ia(K/-1), 对微分方程积分有 r(-r-brit-brtt G=1,…,N-1,N) 令a1=J,ydt,aa=-Jydt,C=y(t)-ya.则方程 AB-C 其中，A=(ag),B=(b1,b,C=(c,c,…,cw》,上式为超定方程组，无通常意义的解.其 LS解须满足min!AB-CI2。这里，用数值积分求a,其公式为 a4tu=a+412二(y+y1) a41a=a+425g+4) 2 C+1=+1一y 令a1=ae=0。 归纳起来，其步骤为：①输入数据，②建立超定方程，③利用Householder变换求LS解，④ 求K,a和。该法的主要优点是满足初值问题及拟合有效。仁在参数估计时，满足初值问题意 义不大 3.3灰色系统GM(1,1)模型建横方法 对Logistic模型两边取倒数，令yo(t)=1/y(t),则yo(t)=K-1+長e"。它相当于微分方 程 dyo(t)/dt=-byot)十b.这里a=-ln(-b),r=b,K=b,b2.其参数b,与b,的估计(b, by=BB)g￥，其中，B=（-2心2)-2（3)-2N),Y=02,x(3. 1 1 1 …,xo(N),Z(K+1)=0.5x(K)+0.5x"K+1D,x0(K)=xG),K=1,2,…, N一1).xo()为原始数据列y: 李留裁等(1993)指出，原始数据列的第一个数据对模型参数值及预测精度不产生任何 响。由此提出在原始数据列前增加一任意数作为新的原始数据列建模：此外，原始数据列中 每个数据增加同一常数，对模型值和预测值可产生影响，由此提出在建模时，选择合适的常数 以提高预测精度
第 卷 四 川畜牧兽医学院学报 陈华豪等 通过 , 模型来辨识 模型参数 。 微分方程 , 当 , , 时 , 即为 模型 。 其中 , 一 , , , 一 。 其辨识方法为 给定数据 ” , , … … , , 参数 , ‘ 可通过 ‘ 一 ’ ‘ , 来辩 识 。 其中 , , , , , , 一 , , … … , 知 一 ’ , , , , … … , 姑 一 ‘ , , ” △ , △ , … … , △ ’ , 这里 , △ 、一 一 , , , … … , 。 陈华豪等 认为该法与 法相当 。 数值方法 吴新元 提 出该法 对于 模型的微分方程 , 一 , 。 。 , 其 中 , , , , 一 。 对微分方程积分有 。 一 。一 只 州 一 , 只 , 。 。一 , , … … , 一 , , 令 。 一贝 。 , 、 一只 , 。一 , 一为 则方程 其中 , 。 , , , , , … … , ‘ 。 上式为超定方程组 , 无通常意义的解 。 其 解须满足 而 ‘ “ 。 这里 , 用数值积分求 。,其公式为 一 户丝户 , , ‘ 二 纽尹、 痴 , 丛 一 ‘品︸ 斗 产 、 令 。 。 归纳起来 , 其步骤为 ①输入数据 ②建立超定方程 ③利用 捉 变换求 解 ④ 求 , 和 。 该法的主要优点是满足初值间题及拟合有效 。 但在参数估计时 , 满足初值间题意 义不大 。 灰色系统 , 模型建模方法 对 ‘ ,‘ 模型两边取倒数 , 令 。 一 , 则 。 一 一 畏一 。 它相当于微分方 程 。 一 。 。 这里 一 一 , , 一 。 其参数 与 的估计 , , ‘ ‘ 犷 ’ , , 其中 , , 一 一 一 , , , , , … … , 二‘, , , ‘, , 一 。 “ , “ , , 二“ , 习 , , , , … … , 一 。 ‘ , 为原始数据列 叭 。 李 留藏等 指出 , 原始数据列 的第一个数据对模型 奎数值及预测精度不 产生任何影 响 。 由此提出在原始数据列 前增加一任意数作为新的原始数据列建模 此外 , 原始数据列 中 每个数据增加 同一常数 , 对模型值和预测值可产生影响 , 由此提 出在建模时 , 选择合适的常数 , 以提高预测精度 。 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
章元明等：Logistic模型的参数估计 第2期 庄恒扬(1993)指出，当e/K→0时，Z(K+1)=ax(K)+(1-a)x(K+1)中的a→0， 5。但是，e/K较大时，a与0.5偏离较大，致使模型失效。因此，他提出e/K取不同值时，a可 取不同的值。 3.4x2值Marquardt法 当各观测值的数量级悬殊，LS估计值的效果不佳，为提高拟合结果的可察性，杨运清等 (1993)提出了minx2的非线性模型参数估计方法. 该法主要是解方程组 (4十)△=F (6 其中，A=(a则)am,△=(1△，…d,B-=(a,a,…,am',这里， -名警警 -名密x-1 Tx=1/VyK 解方程组(6)得到4，从而b,④=b,-D+△i,不断迭代，直到满足要求的精度为止， 实际上，该法就是加权LS法。 当然，本文仅介绍了部分Logistic模型参数估计方法。同时，新的方法不断出现。应当指 出，本文的许多方法可用于其他非线性模型的参数估计。 参考文献 1陈华素等.生物数学学报，1990，(1)151-57 2方开泰等.应用数学学报，1993，(3)：366一377 3李留藏等.数学的实践与认识，1993，(1)：15-22 4李启文.华中农业大学学报，1988，(2)186-189 5李思惠，生态系统建棋分析与管理（上），席京农大研究生教材 6刘饮圣编著.最小二乘问题计算方法，北京工业大学出版社，1989 7万昌秀等.生态学报，1983，(3)，288-296 8韦博成，近代非线性回归分析。东南大学出版社，1989 9吴新元。生物数学学报，1990，(1)：26 —32 10杨运清等.畜牧普医学报，1992，(3)：219-224 11杨运清等.生物数学学报，1993，(3)：150-155 12于德江.预测，1992，(1)：58-61 13余克庆等.昆虫天敌，1990，(1)：33一39 14震去发等.西北农学院学报，1984，(3)，59-63 15赵志棋等.生态学引论.科学技术出版社重庆分社，1984,27一30 1G张海松等.昆虫知识，1992，(4)：209一211 17周以俭.江苏首届生物数学学会论文，199 18庄恒扬.江苏农学院学报，1993，()：19-24
章元明等 模型 的参数估计 第 期 庄恒扬 指 出 , 当 ” 时 , ‘, ’ “ , 一 , , 中的 ‘ · 。 但是 , 较大时 , 。 与 偏离较大 , 致使模型失效 。 因此 , 他提出 取不 同值时 , 可 取不同的值 〕。 值 法 当各观测值的数量级悬殊 , 估计值的效果不佳 , 为提高拟合结果 的可靠性 , 杨运清等 提 出 , 的非线性模型参数估计方法 。 该法主要是解方程组 汀 乙 二 一 一 卜 一 卜 ’ 其中 , “ 勒 , △ 〔△ , △ , … … , 入 , , , , … … ,峋 ’ , 这里 , 勺 一 习 几 。 习 几 几 一 石 丛截 丛两 ‘ ‘ 二 二 少几 一 口‘ 解方程组 得到 八 , 从而 小 。一 △, 不断迭代 , 直到满足要求的精度为止 。 实际上 , 该法就是加权 法 。 当然 , 本文仅介绍了部分 元 模型参数估计方法 。 同时 , 新的方法不断出现 。 应当指 出 , 本文的许多方法可用于其他非线性模型 的参数估计 。 今 考 文 献 陈华豪等 生物数学学报 , , 一 方开泰等 应用数学学报 , , 一 李留藏等 数学的实践与认识 , , , 一 李启文 华中农业大学学报 , , 一 李思惠 生态系统建模分析与管理 上 , 南京农大研究生教材 刘钦圣编著 最小二乘向题计算方法 北京工业大学出版社 , 万昌秀等 生态学报 , , 一 韦博成 近代非线性回归分析 东南大学出版社 , 吴新元 生物数学学报 , , 一 杨运清等 畜牧兽医学报 , , 一 杨运清等 生物数学学报 , , 一 于德往 预测 , , 一 余克庆等 昆虫夭敌 , , , 一 , 衰志发等 西北农学院学报 , , 一 赵志模等 生态学引论 科学技术出版社重庆分社 , , 一 张海松等 昆虫知识 , , 一 周以俭 江苏首届生物数学学会论文 , 。 庄恒扬 江苏农学院学报 , , 一 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net