农业院校《试验设计与分析》课程参考资料（多变量分析方法）回归分析中的模型偏差及其防止.pdf_大学文库

第27卷第6期作物学报 Vol.27.No.6 2001年11月 ACTA AGRONOMICA SINICA Nov.,200 回归分析中的模型偏差及其防止莫惠栋 (扬州大学数量遗传研究室，江苏扬州225009》提要研究了回归分析中的模型偏差（即分析模型和真实模型的差异）对估计数b和》的影响。结果表明，偏差存在时b和》都成为有偏的估计数，也不能有效地测验回归均方的显著性。但是，如果在试验的某些水平上适当地设置重复，而试验因子的水平数又多于要估计的回归参数数，就能够有效地防止模型偏差。作为事例，评价了7个回归设计的优缺点。关键词回归分析：模型偏差，偏差矩阵 Model Bias and Its Prevention in Regression Analysis MO Hui-Dong (Laboratory of Quantitatice Genetics.Yangshou University.Yangzhou 225009.China) Abstract The effect of model bias,i.e.,the difference between working model and true model in regression analysis,was investigated.The results indicated that the regression estimators,b and y,will become biased estimators and the significance of regression MS will not be tested validly when the model difference exists.However,this bias can be effectively prevented if the suitable replications on some experiment levels are set and the number of factor levels must as well be more than that of parameters estimated.As examples,the advantages and disadvantages of 7 regression designs were evaluated. Key words Regression analysis;Model bias;Bias matrix 1模型偏差的意义在回归分析中，回归系数b=(6。,,b2,…,bw-1)是B=(3。,月，,,B-1)的无偏估计数。因为当回归模型为： E(Y)=B。+月X1+,X:十…+P-X-1=1 (1) 时，B的最小平方估计数b为： b=(X'X)-X'Y. (2) (2)式中的X是不受期望影响的常量矩阵，而b和Y则是随机变数。因此可得： E(b)=(X'X)-X'E(Y)=(X'X)-X'XB=B. (3) (3)式中的(XX)-1X'X=1为p阶单位矩阵。是日 39602-03-20 Received on:2001-02-09.Accepted on:2001-03-20

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 第 "#卷第 $期作物学报 %&’("#)*&($ "++,年 ,,月 -./- -012*234.- 54*4.- *&6()"++, 回归分析中的模型偏差及其防止7 莫惠栋 8扬州大学数量遗传研究室)江苏扬州 ""9++:; 提要研究了回归分析中的模型偏差8即分析模型和真实模型的差异;对估计数的影响?结果表明)偏差存在时都成为有偏的估计数)也不能有效地测验回归均方的显著性?但是)如果在试验的某些水平上适当地设置重复)而试验因子的水平数又多于要估计的回归参数数)就能够有效地防止模型偏差?作为事例)评价了 #个回归设计的优缺点? 关键词回归分析@模型偏差@偏差矩阵 ABCDEFGHIHJCKLIMNDODJLGBJGJPDQNDIIGBJRJHESIGI 32TUVWX&YZ 8[\]^_\‘^_a^bcd\e‘f‘\‘fghiheh‘fjk)l\emno^dpefgh_kf‘a(l\emno^d""9++:)qofe\; RrILNHsL /tuuvvuwx&vy&zu’{V|})V(u()xtuzVvvu~uYwu{ux!uuY!&~"VYZy&zu’|Yzx~Uu y&zu’VY~uZ~u}}V&Y|Y|’#}V})!|}VY6u}xVZ|xuz(/tu~u}U’x}VYzVw|xuzxt|xxtu~uZ~u}}V&Y u}xVy|x&~}))!V’’{uw&yu{V|}uzu}xVy|x&~}|Yzxtu}VZYVvVw|Ywu&v~uZ~u}}V&Y$%!V’’ Y&x{uxu}xuz6|’Vz’#!tuYxtuy&zu’zVvvu~uYwuu&V}x}(T&!u6u~)xtV}{V|}w|Y{uuvvuwxV6u’# ’~u6uYxuzVvxtu}UVx|{’u~u’’Vw|xV&Y}&Y}&yuu&’u~VyuYx’u6u’}|~u}ux|YzxtuYUy{u~&v v|wx&~’u6u’}yU}x|}!u’’{uy&~uxt|Yxt|x&v’|~|yuxu~}u}xVy|xuz(-}u&|y’’u})xtu |z6|Yx|Zu}|YzzV}|z6|Yx|Zu}&v#~uZ~u}}V&Yzu}VZY}!u~uu6|’U|xuz( (DS)BNCI 1uZ~u}}V&Y|Y|’#}V}@3&zu’{V|}@*V|}y|x~V& + 模型偏差的意义在回归分析中)回归系数 <,-8]+)],)]").)]/0,;是 1,-82+)2,)2").)2/0,;的无偏估计数?因为当回归模型为3 48=;- 2+5 2,6,5 2"6"5 . 5 2/0,6/0,- 78e8/;18/8,; 8,; 时)1的最小平方估计数 <为3 <- 87,7;0, 7,=( 8"; 8";式中的 7是不受期望影响的常量矩阵)而 <和 =则是随机变数?因此可得3 48<;- 87,7;0, 7,48=;- 87,7;0, 7,71- 1( 89; 89;式中的87,7;0, 7,7-:为 /阶单位矩阵? 7 国家自然科学基金资助项目8*&(9:$#+9:,; 收稿日期3"++,W+"W+:)接受日期3"++,W+9W"+ 1uwuV6uz&Y3"++,W+"W+:)-wwu’xuz&Y3"++,W+9W"+ 万方数据

6期莫惠栋：回归分析中的模型偏差及其防止 713 可测验H。:B=0。 (3)当否定H。B°=0时，F=MSR/MSE或F=MSk/MSB对于测验H。:B=0均属无效。 4通过试验设计防止模型偏差上述理论结果表明，回归模型偏差对试验结果的正确分析会有严重干扰。为避免模型偏差，在回归设计上应当要求：①必须在X的各个水平或某些水平上设置重复以估计MS:② 必须使（试验水平数）>p(分析模型的参数数)以估计和测验MS,即测验是否存在模型偏差（失拟）以及在必要时可扩展分析模型、消除偏差。下面列举7种设计作具体评价。为了般化，我们用X=(1,一1,0)依次表示试验因子X的高水平、低水平和中点值：并假设分析模型是E(Y)=3。十月，X,用回归系数b,的标准误相当于σ的倍数，即 5%,/a=1/x (13) 表示设计精度(s%/σ愈小，设计精度愈高)。设计1：以d=2/(1-1)=2/(10-1)=0.22为间距，在X=(±0.11，±0.33，±0.55. 士0.77，士1.00)上各设置1水平，共10个水平：1次重复。设计1：以d=2/(5-1)=0.5为间距，在X=(0,士0.5，士1.0)上各设置1个水平，共 5个水平：2次重复。设计■：以d=2/(4-1)=0.66为间距，在X=(士0.33，士1.00)上各设置1水平，共4 个水平，其中X=(士0.33)上各重复4次，X=(士1.00)上各重复1次。设计N:间距和水平同设计Ⅱ但在X=(土0.33)上各重复1次，在X=(土1.00)上各重复4次。设计V:以d=2/(3-1)=1.00为间距，在X=(0,士1.0)上各设置1水平，共3个水平；其中X=0上重复6次，X=(士1.0)上各重复2次。设计M:间距和水平同设计V；但在X=0上重复2次，在X=(士1.0)上各重复4次。设计M:以d=2/(2-1)=2为间距，在X=(士1.0)上各设置1水平，共2个水平；重复5次。上述设计的几何解释示于图1，其设计参数则列于表1。表1说明： (1)设计1是不可取的，它虽有10个试验水平，却不能估计MS:。试验1也是不可取的，它虽然精度最高（对于分析模型），但不能估计MS,不能发现可能存在的模型偏差。 (2)设计I~I都能够估计MSE和MS。如果存在MS:,它们都可能扩展分析模型，其中设计1可扩展3项，设计I和W为2项，设计V和M为1项。但设计W的精度最高，又有稳键的扩展空间，故为此处7种设计中的最佳设计：其次为设计M。 (3)设计1和N的试验水平和重复次数完全相同，但N的设计精度远高于Ⅱ：同理，设计V和M的试验水平也完全相同，但M的设计精度远高于V。造成此种差异的原因是N和M 在端点水平上有较多次重复，而Ⅱ和V则在中心点或近中心点上有较多次重复。设置在端点水平上的重复增大了(13)式中的x2值，故能够最大程度地提高设计精度。以往反应面方法中的各种回归设计，几乎都是将重复设置在中心点上[3~]。这对估计MSg当然并无问题，但非常不利韦捷离接计精度，是亟待改进的

可测验 !"#$%"& ’()当否定 !"#$* %"时+,%-./0-.1 或 ,%-./0-.2 对于测验 !"#$%"均属无效& 3 通过试验设计防止模型偏差上述理论结果表明+回归模型偏差对试验结果的正确分析会有严重干扰&为避免模型偏差+在回归设计上应当要求45 必须在 6的各个水平或某些水平上设置重复以估计 -.178 必须使 9’试验水平数):;’分析模型的参数数)以估计和测验 -.2+即测验是否存在模型偏差’失拟)以及在必要时可扩展分析模型+?>+")依次表示试验因子 6的高水平D+用回归系数 E>的标准误相当于 F的倍数+即 GE>0F% >0JHIK ’>() 表示设计精度’GE>0F愈小+设计精度愈高)& 设计L4以 M%K0’9?>)%K0’>"?>)%"NKK为间距+在 6%’O"N>>+O"N((+O"NPP+ O"N==+O>N"")上各设置 >水平+共 >"个水平7>次重复& 设计Q4以 M%K0’P?>)%"NP为间距+在 6%’"+O"NP+O>N")上各设置 >个水平+共 P个水平7K次重复& 设计R4以 M%K0’S?>)%"NTT为间距+在 6%’O"N((+O>N"")上各设置 >水平+共 S 个水平7其中 6%’O"N(()上各重复 S次+6%’O>N"")上各重复 >次& 设计U4间距和水平同设计R7但在 6%’O"N(()上各重复 >次+在 6%’O>N"")上各重复 S次& 设计V4以 M%K0’(?>)%>N""为间距+在 6%’"+O>N")上各设置 >水平+共 (个水平7其中 6%"上重复 T次+6%’O>N")上各重复 K次& 设计W4间距和水平同设计V7但在 6%"上重复 K次+在 6%’O>N")上各重复 S次& 设计X4以 M%K0’K?>)%K为间距+在 6%’O>N")上各设置 >水平+共 K个水平7重复 P次& 上述设计的几何解释示于图 >+其设计参数则列于表 >&表 >说明4 ’>)设计L是不可取的+它虽有 >"个试验水平+却不能估计 -.1&试验X也是不可取的+它虽然精度最高’对于分析模型)+但不能估计 -.2+不能发现可能存在的模型偏差& ’K)设计QYW都能够估计 -.1 和 -.2&如果存在 -.2+它们都可能扩展分析模型+其中设计Q可扩展 (项+设计R和U为 K项+设计V和W为 >项&但设计U的精度最高+又有稳健的扩展空间+故为此处 =种设计中的最佳设计7其次为设计W& ’()设计R和U的试验水平和重复次数完全相同+但U的设计精度远高于R7同理+设计V和W的试验水平也完全相同+但W的设计精度远高于V&造成此种差异的原因是U和W 在端点水平上有较多次重复+而R和V则在中心点或近中心点上有较多次重复&设置在端点水平上的重复增大了’>()式中的 ZIK值+故能够最大程度地提高设计精度&以往反应面方法中的各种回归设计+几乎都是将重复设置在中心点上[(YT\ &这对估计 -.1 当然并无问题+但非常不利于提高设计精度+是亟待改进的& T期莫惠栋4回归分析中的模型偏差及其防止 =>( 万方数据