并求出它的势函数 证设a=ai+a+ak,则 +2x(y+2) =2-+2x(x+ 所以向量场a是有势场。设原函数为U=U(x,y,2),则 dU =(2x+y+=)yxdx+(x+2y+3)=xdy+(x+y+2=)xyz = Lyzdx+x(edy ydz)+Ly(zdx+xd)+= I =(dx+ xdy)+xydx-] +d(xy2-)=[xy(x+y+- 所以势函数为 V(x,y,==-U(x,y,3)=-xyz(x+y+:)+C 13.验证 (1)u=y3-3x2y为平面R2上的调和函数; (2)u=ln√(x-a)2+(y-b)2为R2{(ab)}上的调和函数 3) 为R3\{(0,0,0)}上的调和函数 解(1)因为 a2u a2 6 所以 a-u a-u 即u=y3-3x2y为平面R2上的调和函数。 (2)因为 (x-a)2+(y-b)2'ay(x-a)2+(y-b)2 a-u (y-b)"-( )2+(y-b)2]ay2[(x-a)2+(y-b)2] 所以 a2u a 即un=l(x-a)2+(y-b)2为R2\{(ab)}上的调和函数。 (3)记r +y 则 a-u 1并求出它的势函数。 证 设a = ax i + ay j + azk ，则 x a y y x z z a z a x x y z y az y x z ∂ ∂ = + + = ∂ ∂ ∂ ∂ = + + = ∂ ∂ 2 ( ) , 2 ( ) 2 2 ， y a z z x y x ay x ∂ ∂ = + + = ∂ ∂ 2 ( ) 2 ， 所以向量场a是有势场。设原函数为U U= ( , x y,z)，则 dU = + (2x y + z) yzdx + (x + 2y + z)zxdy + (x + y + 2z)xydz [ ( )] [ ( ) ] 2 2 2 2 = yzdx + x zdy + ydz + y zdx + xdz + zxdy [ ( ) ] 2 2 + z ydx + xdy + xydz ( ) ( ) ( ) [ ( )] 2 2 2 = d x yz + d xy z + d xyz = d xyz x + y + z ， 所以势函数为 V ( , x y z, ) = −U ( , x y z, ) = −xyz(x + y + z) + C 。 13.验证： （1）u y = −3 3x 2 y 为平面 2 R 上的调和函数； （2） 2 2 u = ln (x − a) + ( y − b) 为R2 \ {(a,b)}上的调和函数； （3） 2 2 2 1 x y z u + + = 为R3 \ {(0,0,0)}上的调和函数。 解（1）因为 y y u y x u y x y u xy x u 6 , 3 3 , 6 , 6 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ = − ∂ ∂ = − ∂ ∂ = − ∂ ∂ ， 所以 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y u x u ， 即u y = −3 3x 2 y 为平面 2 R 上的调和函数。 （2）因为 2 2 2 2 ( ) ( ) , ( ) ( ) x a y b y b y u x a y b x a x u − + − − = ∂ ∂ − + − − = ∂ ∂ ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 [( ) ( ) ] ( ) ( ) , [( ) ( ) ] ( ) ( ) x a y b x a y b y u x a y b y b x a x u − + − − − − = ∂ ∂ − + − − − − = ∂ ∂ ， 所以 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y u x u ， 即 2 2 u = ln (x − a) + ( y − b) 为R2 \ {(a,b)}上的调和函数。 （3）记 2 2 2 r = x + y + z ，则 2 3 1 r x r x x r u = − = − ∂ ∂ ， 5 2 2 3 4 3 2 3 1 3 1 r x r r x r x x r u = − + = − + ∂ ∂ ， 6