9.设a为常向量,r=xi+y+k,验证 (1)V(axr)=0; (2)V×(axr)=2a; (3)V·(r·r)a)=2r·a 000 ax ay az 证(1) a( da.x-a 0 k (2)V a=-aJ 2(ai+aj+ak)=2 (3)V(rrh)=ar3),aa,y2)+2(a2)=2ra 10.求全微分(x2-2ydx+(y2-2x)d+(x2-2xy)d的原函数。 解记a=(x2-2y)i+(y2-2x)j+(x2-2xy)k,由于 所以向量场a=(x2-2y)i+(y2-2x)+(x2-2xy)k是一个无旋场,其原函 数为 U(xy2)=00(x2-2y)+(y2-2c)+(=2-2xy)+C xad+y+(2-2)h=5(+ 1证明向量场a=3-,i+x+yj(x>0)是有势场并求势函数。 证当x>0时 xy a 所以向量场a是有势场,其势函数为 )(x-y)dx+(x+ y)dy x dy+C=-arctan 2-In(x2+y2)+C 12.证明向量场a=(2x+y+z)yzi+(x+2y+2)x+(x+y+2)xk是有势场,9. 设a为常向量，r = xi + yj + zk ，验证： （1）∇ ⋅(a × r) = 0 ； （2）∇ × (a × r) = 2a ； （3）∇ ⋅((r ⋅r)a) = 2r ⋅ a 。 证（1） x y z a a a x y z x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ ⋅(a × r) = 0 ( ) ( ) ( ) = ∂ ∂ − + ∂ ∂ − + ∂ ∂ − = z a y a x y a x a z x a z a y y z z x x y 。 （2） ( ) y z z x x y x y z a z a y a x a z a y a x ∂ ∂ ∂ ∇ × × = ∂ ∂ ∂ − − − i j k a r 2( ) x y z = + a a i j + a k = 2a 。 （3） 2 2 2 ( ) ( ) ( ) (( ) ) 2 x y z a x a y a z x y z ∂ ∂ ∂ ∇ ⋅ ⋅ = + + = ⋅ ∂ ∂ ∂ r r a r a 。 10. 求全微分( ) x y 2 2 − + 2 2 z dx ( ) y − xz dy + (z 2 − 2xy)dz的原函数。 解 记 a ( 2 )i ( 2 ) j ( 2 )k ，由于 2 2 2 = x − yz + y − xz + z − xy y a z x a x a y z a z a x y az y x z y x ∂ ∂ = − = ∂ ∂ ∂ ∂ = − = ∂ ∂ ∂ ∂ = − = ∂ ∂ 2 , 2 , 2 ， 所以向量场 是一个无旋场，其原函 数为 a ( 2 )i ( 2 ) j ( 2 )k 2 2 2 = x − yz + y − xz + z − xy ( , , ) 2 2 2 (0,0,0) ( , , ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) x y z U x y z = x − yz dx + y − + xz dy z − + xy dz C ∫ 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 ( 2 ) ( ) 2 3 x y z = + x dx y dy + z − xy dz = x + y + z − xyz C ∫ ∫ ∫ + 。 11.证明向量场 ( 0) 2 2 2 2 > + + + + − = x x y x y x y x y a i j 是有势场并求势函数。 证 当 x > 0时， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ∂ ∂ = + − − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x xy x y x y y ( ) ， 所以向量场a是有势场，其势函数为 ( , ) 2 2 (1,0) ( ) ( ) ( , ) ( , ) x y x y dx x y dy V x y U x y C x y − + + = − = − + + ∫ 2 2 2 2 1 0 1 arctan ln( ) 2 x y dx x y y dy C x y C x x y x + = − − + = − − + + + ∫ ∫ 。 12.证明向量场a = (2x + y + z) yzi + (x + 2y + z)zxj + (x + y + 2z)xyk 是有势场， 5